Page 153 - 《振动工程学报》2025年第11期

第 11 期 张仁坤，等：磁悬浮柔性转子无试重不平衡量分布优化方法 2611

轴承电磁力模型、不平衡力模型三部分；电控系统 2.2 电控系统子模型
子模型包括传感器模型、控制器模型、功率放大器
对电涡流位移传感器进行建模，将其等效为比
模型三部分。

例环节，传递函数 G s (s) 为：
2.1 机械系统子模型 U s (s)
G s (s) = = k s （5）
Q s (s)
通过有限元法对试验台的转子进行建模，将转
式中，k s 为径向位移传感器增益；U s (s) 传感器输出电
子划分为 45 个梁单元，关键节点划分如图 2 所示。
压信号 u s 的拉普拉斯变换；Q s (s) 为传感器节点位移
转子的动力学方程为 [22] ：
向量 q s =T s q 的拉普拉斯变换。
T T （1）
M r ¨ q+(C r +ωG r ˙ q)+ K r q = T F AMB +T F u 对控制器进行建模，本文选用 算法作为主
a u PID
式中，M r 为转子质量矩阵；C r 为转子阻尼矩阵；G r 为 控制器，串联若干相位补偿器以提升转子弯曲模态
转子陀螺矩阵；K r 为转子刚度矩阵；ω 为转频；q=[q 1 频率处的支承阻尼 [21] ，传递函数 G c (s) 为：
T
q 2 … q i … q 46 ] 为转子广义坐标向量，q i =[x i y i φ xi φ yi ] T U c (s) ∏
G c (s) = = G PID (s)· G PLi (s),
为第 i 个节点下转子位移向量，x i 、y i 分别为第 i 个节 E(s)
点下转子在 x、y 方向的位移，φ xi 、φ y 分别为第 i 个节 k I k D s
i
G PID (s) = k P + + ,
点下转子绕 x 轴、y 轴的转角；F AM 为磁悬浮轴承电 s τs+1
B
(ω mi −ω ri ) s +2ξ i (ω mi −ω ri )s+1
2 2
T
磁力向量；F u 为不平衡力向量；T a 为电磁力作用节 G PLi (s) = （6）
2 2
(ω mi +ω ri ) s +2ξ i (ω mi +ω ri )s+1
T
点的变换矩阵；T u 为不平衡力作用节点的变换矩阵。
式中，G PID (s)、G PLi (s) 分别为 PID 控制器、第 i 个相位
对磁悬浮轴承的电磁力进行建模，本文的磁悬
补偿器的传递函数；U c (s)、E(s) 分别为控制电压 u c 、
浮轴承选用差动电流驱动模式，因此在转子悬浮位
输 入 误差 e 的 拉 普 拉 斯 变 换 ； k P 、 k I 、 k D 、 τ 分 别 为
置附近，电磁力可线性化近似处理为 [23-24] ：
PID 控制器的比例增益、积分增益、微分增益、不完
F AMB = k i i c + k x x （2） 全微分系数；ω mi 、ω ri 、ξ i 分别为第 i 个相位补偿器的
式中， x= T a q 为磁悬浮轴承节点的位移向量；i c 为磁
中心频率、补偿范围、相位变化率。
悬浮轴承各通道的控制电流向量；k i 为电流刚度向
功率放大器模型可由二阶系统传递函数来近
量；k x 为位移刚度向量。 似 [25] ，传递函数 G a (s) 为：
对转子的不平衡力进行建模，假设转子的残余不 i c (s)
G a (s) = = a 1 s+a 2 （7）
平衡量随机分布于任意节点上，则不平衡力可表示为： U c (s) a 3 s +a 4 s+a 5
2
 2 
 U r1 ω cos(ωt +θ 1 )  通过试验拟合可得到具体的参数值。
 
 
 2 
 
 U r1 ω sin(ωt +θ 1 ) 
 
  联立式 (5)~(7)，建立电控系统子模型的传递函
 . 
   
F u =   . .   （3）
  数 G e (s)：
 
 
 2 
 
 U ri ω cos(ωt +θ i ) 
 
 
 2  I c (s)
U ri ω sin(ωt +θ i ) G e (s) = = G s (s)G c (s)G a (s) （8）
Q s (s)
式中，U r 为第 i 个节点上不平衡量的质量半径之积；
i
θ i 为第 i 个节点上不平衡量的相位角；t 为时间。 2.3 闭环系统模型
联立式 (1)~(3)，建立机械系统子模型的状态空
根据式 (4) 和 (8)，建立机械系统子模型与电控系
[
间方程，取状态变量 z = q ˙ q ：
] T
统子模型的闭环连接通道，形成磁悬浮轴承-柔性转


 ˙ z = A r z+ B i i c + B u F u
 （4）
 子闭环系统模型，总体框图如图 3 所示。
 y = C s z


[ ]
0 I 机械系统子模型
式中, A r = −1 T −1 ； B i = F u B u
M (K r −T k x T a ) −M (C r +ωG r )
[ ] r [ a ] r
0 0 [ ] +  1/s q s
−1 T ； B u = −1 T ； C s = T s 0 ； T s B i + + C s
M T k i M T
r a r u
为传感器检测节点的变换矩阵。 A r

功率放大器 控制器 传感器
i c u c u s
G a (s) G c (s) G s (s)
电控系统子模型

2 6 8 12 16 20 24 26 29 33 37 41 43
图 3 磁悬浮轴承-柔性转子系统模型框图
图 2 转子有限元节点划分 Fig. 3 Magnetic bearing-flexible rotor system model block
Fig. 2 Finite element nodes of rotor diagram