Page 49 - 《振动工程学报》2025年第9期

第 9 期 曹徐阳，等：非平稳随机主余震序列下工程结构易损性计算方法的适用性研究 1979

式 中， Θ 1 和 Θ 2 在 [0, 2π] 上 均 匀 分 布 。 对 于 式 (1)， 2.1 线性拟合法
CLOUGH-PENZIEN 双边演化功率谱密度函数是生
线性拟合法是易损性计算中最为常用的一种，
成非平稳随机地震动序列的关键，通过考虑强度与
通过一系列的非线性动力时程分析，得到不同地震
频率的非平稳特性，其可以表示为下式：
2
4
2
w (t)+4ξ (t)w (t)w 2 动强度水准下结构的工程需求参数（例如最大层间
2 g g g
(t,w) =F (t)· ·
S ¨ X g 2 位移角、最大层间加速度等） [28-29] 。基于结构需求与
2
[w −w (t)] +4ξ (t)w (t)w 2
2
2
2
g
g
g
w 4 能力的对数正态分布假设，线性拟合法得到的易损
·S 0 (t) （4）
2
[w −w (t)] +4ξ (t)w (t)w 2 性计算公式如下式所示：
2
2
2
2
f f f
式中， w 表示频率；w g (t)、w f (t)、ξ g (t)、ξ f (t) 均表示非平 P(D > C|IM) = F(a,δ c ,k,u) =
[ / ( √ )]
稳随机地震动序列的参数，其选择方法可参考文献 [19]； Φ ln(S d|IM /δ c ) β 2 +β 2 （7）
d|IM c
F(t) 表示地震动强度调节函数，其取值可以采用欧进
式中，D 表示结构需求，C 表示结构能力，P（D>C|IM）
萍等 [20] 提出的下式：
表示在地震强度 IM 时 D 超越 C 的概率并且表示强
F(t) = [t/c·exp(1−t/c)] d （5）
度指标 (a)、能力中位值 (δ c ) 以及两个回归系数 (k 和
式中，c 表示到达峰值加速度的平均时间；d 表示地

震动形态控制指标；S 0 (t) 表示地震动谱强度参数，其 150
取值可以采用下式： 100 主震阶段 典型随机主余震序列1 余震阶段
50
a 2 max 地震动加速度 / (cm · s −2 ) −50 0
S 0 (t) = （6） −100 随机主震加速度时程
1
2
γ πw g (t)·[2ξ g (t)+ ξ g (t)] 随机余震加速度时程
2 −150
50
40
60
式中，a ma 表示峰值加速度的平均值；γ 表示等效峰 0 10 20 30 地震动时程 / s 70 80 90 100
x
值参数，本文中取值为 2.6。 (a) 生成的典型非平稳随机主余震序列
(a) The generated tyical nonstationary stochastic
基于非平稳随机地震动理论，本文进一步生成 mainshock-aftershock sequence
了非平稳随机主余震序列，即主震阶段和余震阶段 60 主震阶段 余震阶段
50
分别采用两组正交随机变量（X K 与 Y K ）以及两组随 标准差 / (cm · s −2 ) 40
30
机映射规则来实现地震动序列的构造。此外，在构 20 随机主余震-标准差平均值
随机主余震-标准差目标值
10
造非平稳随机主余震序列时，主震与余震的随机地 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
震 动 参 数 保 持 一 致（ 即 w g (t)、 w f (t)、 ξ g (t)、 ξ f (t) 等 参 地震动时程 / s
(b) 非平稳随机主余震序列的标准差与目标值的对比
数），从而使生成的结果满足采用天然波构造主余震 (b) Comparison of standard deviation and target of nonstationary
序列时的要求（如主震矩震级要求、主余震震中距要 stochastic mainshock-aftershock sequence
求、地震动记录台站要求等） [21] 。 30 主震阶段 余震阶段
基于上述计算公式，本文生成了中国 7 度设防 平均值 / (cm · s −2 ) 15 0
条件下（随机主震峰值加速度水准为 0.1g）的 200 条 −15 随机主余震-均值计算值
随机主余震-均值目标值
非平稳随机主余震序列，根据文献 [22]，随机余震峰 −30 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
值 加 速 度 与 主 震 的 比 值 范 围 取为 [0.5297,0.5888]。 地震动时程 / s
(c) 非平稳随机主余震序列的平均值与目标值的对比
图 1(a) 给出了生成的典型非平稳随机主余震序列，
(c) Comparison of mean value and target of nonstationary
图 1(b) 给出了非平稳随机主余震序列的标准差与目 stochastic mainshock-aftershock sequence
标值的对比，图 1(c) 给出了非平稳随机主余震序列 样本谱加速度; 平均谱加速度; 目标谱加速度
0.5 0.5
的平均值与目标值的对比，图 1(d) 和 (e) 分别给出了 0.4 随机主震阶段 0.4 随机余震阶段
非平稳随机主震与余震加速度响应谱，结果表明，基 0.3 0.3
于上述公式生成的非平稳随机主余震时间序列具有 谱加速度 / g 0.2 谱加速度 / g 0.2
较好的拟合精度与较小的离散程度。 0.1 0.1

0 0
0 1 2 3 4 0 1 2 3 4
结构周期 / s
结构周期 / s
2 三 种 常 用 方 法 的 易 损 性 计 算 原 理 (d) 非平稳随机主震响应谱 (e) 非平稳随机余震响应谱
(d) Spectral acceleration of (e) Spectral acceleration of
nonstationary stochastic nonstationary stochastic
本节结合现阶段地震易损性分析中常用的三种 mainshock aftershock

方法：线性拟合法、最大似然估计法、蒙特卡罗法展 图 1 生成的非平稳随机主余震序列
开研究，首先给出了这三种方法的易损性计算原理， Fig. 1 The generated nonstationary stochastic mainshock-
相应理论可为后续的案例分析提供参考 [23-27] 。 aftershock sequences