Page 50 - 《振动工程学报》2025年第9期

1980 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

u) 的函数，其中 δ c 反映了结构能力的不确定性，本文 量的统计值，样本数量越大，计算的结果越准确。蒙
取为相应规范定义的极限状态阈值；β c 表示结构能 特卡罗法往往被当成基准参考，同时用以验证其余
力的对数标准差，根据 JEON 等 [30] 的建议，β c 在本文 易损性计算方法或可靠度指标的有效性。基于蒙特
取值为 0.2 以简化计算；Φ 表示标准正态分布函数； 卡罗法的地震易损性表达式简洁直观，如下式所示：
S d|I 表示结构需求中位值，其与强度指标 a 的关系往 （14）
M
P(D > C|IM) = F(a,δ c ) = M δ c (a)/M tol (a)
往可以表示为幂指数回归关系，如下式所示，通过将
式中，M tol (a) 表示在地震动强度指标 a 下的总样本数
普通坐标系转换成对数坐标系，两个回归系数 (k 和
量； M δ c (a)表示在地震动强度指标 a 下超越极限状态
u) 可以通过线性拟合的方法求得：
阈值 δ c 的样本数量。

u
S d|IM = k ·a , lnS d|IM = lnk +ulna （8）
β d|I 表示结构需求的对数标准差，可以通过下式计
M
3 案 例 分 析
算求得：
v
t
M ∑ 本节基于一榀 跨 层的钢筋混凝土框架展开
β d|IM = (lnδ x −lnS d|IM ) /(M −2) （9） 3 6
2
x=1 实例分析，讨论了上述三种地震易损性计算方法的
式中，δ x 表示每一条非平稳随机地震动下的结构需 流程，对比了不同方法下概率结果的准确性与适用
求值；M 表示非平稳随机地震动的总数量。 性，相应的结论可为后续地震易损性计算方法的选

择提供参考。该 3 跨 6 层钢筋混凝土框架采用《混
2.2 最大似然估计法
凝土结构设计规范：GB 50010—2010》 [32] 设计，图 2
最大似然估计法首先定义易损性曲线为对数正 给出了该框架的尺寸与配筋信息。在本文分析中，
态分布的形式，表达式如下式所示，式中包含两个未 采用有限元软件 OpenSees 开展模拟与动力计算，采
知参数（即中位值 λ 和对数标准差 β）。因此，最大似 用非线性梁柱单元来模拟框架梁和框架柱，同时结
然估计法求解易损性曲线即转化为表达式中两个未 合纤维截面模型，分别考虑钢筋纤维（steel02）与混凝
知 参 数 的 合 理 取 值， 相 关 的 研 究 也 可 参 考 SHINO- 土纤维（concrete02）的作用机理进行材料表征；对于

ZUKA 等 [10] 与 BAKER [31] 的研究。 框架结构，其节点核心区往往是受力的集中区，也是
P(D > C|IM) = F(a,λ,β) = Φ[ln(a/λ)/β] （10） 影响整体结构抗震性能最为主要的部位，本文中采
式中，P 表示超越概率并且是强度指标 a、强度指标 用 Joint2D 单元以反映连接段的剪切变形与滑移特
中位值 λ 以及强度指标对数标准差 β 的函数。值得 征。Joint2D 单元共有 5 个弯矩-转角“弹簧”，其中中
注意的是，式 (10) 中的 λ 与 β 仅用以反映地震易损性 间的“弹簧”用来反映节点区的弯矩-转角关系，相应
曲线的形状特征，并不表示某一特定结构响应的分 的参数可以通过引入 Pinching4 材料本构及修正斜压
布特征。随后，引入似然函数 Q 用以计算易损性，如 场理论进行考虑，Joint2D 四周的“弹簧”用来反映梁
下式所示： 柱端部的弯矩-转角关系，相应的取值可通过 hysteretic
Q(λ,β,{a i ,i = 1,2,··· , M}) = 材料本构以及拟纤维截面分析进行考虑，在此过程

M ∏ 中引入粘结滑移材料本构来充分考虑钢筋滑移对于
m i
[F(a i ,λ,β)] ·[1− F(a i ,λ,β)] 1−m i （11）
i=1 整体结构受力性能的影响，详细的建模策略可参见
式 中， a i 表 示 第 i 个 非 平 稳 随 机 地 震 动 的 强 度 值 ； 文献 [33-37]。图 3 展示了基于 OpenSees 的钢筋混凝
m i 取值为 1 或 0，当第 i 个非平稳随机地震动下结构 土框架结构建模方法与单元选择。
的需求大于能力值，m i 取值为 1，反之 m i 取值为 0。
4D20 4D22
通过对式 (11) 求微分化简以求得极值，从而计算参 2D12 4D22
500 600 B-1
数 λ 与 β 的取值，进而建立基于最大似然估计法的易 D6@200 D6@200 B-1 C-1
4D18 4D22 C-1
损性曲线，如下式所示： 300 600 B-2
B-1 C-1 3600×5 B-2 C-2
∂Q(λ,β)/∂λ = ∂Q(λ,β)/∂β = 0 （12） 4D25 B-2 C-2
4D20
C-2
B-2
在此过程中，式 (12) 可以被进一步转化为对数的形 500 2D12 600 4D25 4500 C-2
式以简化计算，如下式所示： D6@200 D6@200
4D25
4D20
300 600 6000×3
∂lnQ(λ,β)/∂λ = ∂lnQ(λ,β)/∂β = 0 （13）
B-2 C-2 3×6 RCF

图 2 钢筋混凝土框架的尺寸与配筋信息 （单位：mm）
2.3 蒙特卡罗法
Fig. 2 The dimension and reinforcement information of
蒙特卡罗法通过大量的抽样以得到未知特征变 reinforced concrete frames(RCF)(Unit: mm)