Page 19 - 《振动工程学报》2025年第9期

第 9 期 张理昊，等：基于边界条件等效的载荷传递结构动力学拓扑优化 1949

其中：
( )
|u m | A B
∂
up
∂g m−1 ∂g low |u m−1 |
m−1
= − = （35） 图 4 边界条件等效示意图
∂¯η e ∂¯η e ∂¯η e
将式 (29)~(33) 代入式 (34)，便可得到动载荷传递 Fig. 4 Schematic diagram of equivalent boundary conditions
约束灵敏度。 1.000
在得到目标函数与约束函数关于设计变量的灵
0.995
敏度之后，可使用 MMA 梯度求解器 [22] 更新设计变量。
主振型平均MAC值 0.990

4 数 值 算 例

0.985
4.1 二维基板算例 0.980

考虑如图 3 所示的弹性基板整体结构，将上方 0.975
0 0.05 0.10 0.15 0.20
灰 色 区 域 设 计 域 离 散为 7200 个 厚 度 为 1 mm 的
固有频率平均相对误差
1 mm×1 mm 大小的平面应力单元，下方弹性支撑离
图 5 多目标优化问题 Pareto 解集
散为 7245 个厚度为 1 mm 的 1 mm×1 mm 大小的平面
Fig. 5 Pareto solution sets for multi-objective optimization
应力单元。外载荷频率为 50 Hz，外载荷幅值大小为
problem
100 N，加载位置如图 3 所示。α 和 β 分别为 10 和 10 。
−4
−2
型。计算固有频率相对误差及主振型 MAC 值如表 2
100 mN
所示。结果表明，优化得到的局部结构前 3 阶模态
60 mm 固有频率与相应的整体结构模态固有频率吻合很
好，说明弹簧单元与集中质量单元可以很好地对该
60 mm 5 mm 算例的边界条件进行等效。

120 mm 表 2 固有频率相对误差及主振型 MAC 值
图 3 弹性基板示意图 Tab. 2 Relative errors of natural frequencies and MAC values
Fig. 3 Schematic diagram of elastic substrate
of main modes

分别计算整体结构与理想固支条件下局部结构 固有频率与主振型阶数 固有频率相对误差 主振型MAC值
前 3 阶固有频率，得到的结果如表 1 所示。结果表 1阶 5.86% 0.98
明，整体结构与固支条件下局部结构的固有频率之 2阶 2.42% 1.00
间相差较大，因而有必要对局部结构进行边界条件 3阶 4.62% 0.97

等效。将局部结构与整体结构的连接边界等效为弹
为了验证边界条件等效在结构优化中的有效
簧单元与集中质量单元，如图 4 所示。每个弹簧单
性。分别对整体结构、理想固支边界条件下的局部
元同时具有 x 和 y 方向的刚度，每个集中质量单元也
结构和边界条件等效后的局部结构进行动力学拓扑
同时具有 x 和 y 方向的质量。以弹簧单元弹性系数
优化，优化结果如表 3 所示。结果表明，理想固支边
和集中质量单元质量大小作为设计变量进行遗传算
界条件不能正确模拟弹性基底上的结构。边界条件
法多目标优化，得到的多目标优化问题 Pareto 解集
等效后的优化结果与实际情况相符。因此，本文方
如图 5 所示。
法可以有效模拟弹性支撑。
表 1 整体结构与局部结构前 3 阶固有频率 分别取体积分数为 30%、40%、50%、60%、70%，
Tab. 1 The first three order natural frequencies of global 分析体积分数比对边界条件等效后优化结果的影
structure and local structure 响，优化结果随体积分数比的变化如表 所示。结
4
固有频率阶数 整体结构固有频率/Hz 局部结构固有频率/Hz 果表明，本文的边界条件等效方法可以有效模拟弹
1阶 189.46 920.26 性支撑。
2阶 489.55 1710.67
控 制 目 标为 A 与 B 处 的 动 载 荷 输 出 比 值 为
3阶 608.45 1894.91
2∶1，约束区间相对宽度为 10%，体积分数为 50%。
从 Pareto 解集中选取边界条件等效参数，并计算 将初始设计变量设置为在设计域中均匀分布，设计
边界条件等效后局部结构的前 3 阶固有频率与主振 变量的初始值 η e = 0.5，初始基频为 365.58 Hz。计算