Page 18 - 《振动工程学报》2025年第9期

1948 振 动 工 程 学 报 第 38 卷


∑
 ∂f i ∂ f i ∂¯η i ∂˜η i
E e = R(¯η i )(E 0 − E min )+ E min （24）
 （19） =

 ∂η e ∂η ∂˜η i ∂η i
i

 ρ e = R(¯η i )(ρ 0 −ρ min )+ρ min
i∈N e
式中， E e 为单元弹性模量； ρ e 为单元密度； E 0 和 ρ 分
0
别为全固态材料的弹性模量和密度； E min 和 ρ 分别 3 灵 敏 度 求 解
min
为单元弹性模量和密度的下界； R(¯η i )为下式所表示
的 RAMP 插值函数： 3.1 目标函数灵敏度求解
¯ η i
R(¯η i ) = （20） 由于动柔度 c d 一般情况下为复数，因此以动柔
1+ p(1− ¯η i )
式中，p 为惩罚因子。 度模值 d 作为目标函数。设 c d 的实部和虚部分别为 c R
和 c I ，即
变密度方法很可能出现两类数值不稳定现象，
即棋盘格现象与网格依赖性问题，因此需要引入密 c d = c R +jc I （25）
度过滤来消除这些数值现象。密度过滤器的公式 [20] 动柔度模值 d 对 ¯ η e 求偏导可得：
如下： 2c R ∂c R +2c I ∂c I c R ∂c R +c I ∂c I
∂d 1 ∂¯η e ∂¯η e ∂¯η e ∂¯η e
1 ∑ = = （26）
˜ η e = ∑ H ei η i （21） ∂¯η e 2 d d
H ei
i∈N e 同时，动柔度的灵敏度由下式给出：
i∈N e
式 中， ˜ η e 为 过 滤 后 的 单 元 密 度 ； N e 为 以 单 元 e 为 中 ∂c d ∂K d
= −u T u （27）
心，过滤半径 r min 范围内的单元集合； H ei 为下式所定 ∂¯η e ∂¯η e
义的权重系数： 因而可得：
∂c d ∂c R ∂c I
H ei = max(0,r min −∆(e,i)) （22） = +j （28）
∂¯η e ∂¯η e ∂¯η e
式中， ∆(e,i)为过滤半径范围内第 i 个单元与第 e 个
在变密度法拓扑优化中，由于单元设计变量通
单元的单元中心距离。 过假设的函数关系建立与单元动刚度矩阵间的关
由于变密度法拓扑优化中会不可避免地出现中 系，因此关于目标函数灵敏度的求解可以简化至单
间密度，而中间密度不是真实存在的材料。因此，通 元级别进行计算。

过引入投影函数的方法来使中间密度清晰化。本文
选择下式所描述的函数来 [21] 作为投影函数： 3.2 动载荷传递约束函数灵敏度求解
tanh(δθ)+tanh(δ(˜η e −θ))
¯ η e = （23） 对于节点位移模值比值的灵敏度分析，可通过
tanh(δθ)+tanh(δ(1−θ))
下式得到：
式中， ¯ η e 为投影后的单元密度；δ 为控制陡峭程度的参 ( )
|u m | ∂|u m | ∂|u m−1 |
数；θ 为由投影前后的体积值的不变性决定的擦参数。 ∂ |u m−1 | −|u m |
|u m−1 | ∂¯η e ∂¯η e
同时引入密度过滤与投影函数的可变密度方法 = 2 （29）
∂¯η e |u m−1 |
也被称为三场可变密度方法 [21] 。在该方法中，以伪 而节点位移模值的灵敏度可表示为：
密度 η 作为设计变量，但使用最终投影得到的密度 ∂u mR ∂u mI
e
u mR +u mI
¯ η 参与有限元计算。目标函数与约束函数 f i 对设计 ∂|u m | = ∂¯η e ∂¯η e （30）
e
变量 η 的灵敏度可由链式法则导出： ∂¯η e |u m |
e
式中， u mR 和 u mI 分别为节点位移响应的实部和虚部。

1.0
∂u mR ∂u mI ∂u m
0.9 SIMP +j = （31）
RAMP ∂¯η e ∂¯η e ∂¯η e
0.8
又
0.7
0.6 ∂u m = −λ T ∂K d u （32）
η ( x) 0.5 ∂¯η e ∂¯η e
0.4 式中，λ 为伴随矩阵，可由下式求解得到：
0.3 （33）
K d λ = T m
0.2
对于 KS 函数，由式 (17) 可得：
0.1
[ up low ]
0 n ∑ up −g max) ∂g m−1 low −g max) ∂g m−1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 e µ(g m−1 · −e µ(g m−1
x ∂G KS m=2 ∂¯η e ∂¯η e
=
[ ]
n ∑ up −g max) low −g max)
图 2 SIMP 与 RAMP 的对比 ∂¯η e e µ(g m−1 +e µ(g m−1
m=2
Fig. 2 Comparison of SIMP and RAMP
（34）