Page 16 - 《振动工程学报》2025年第9期

1946 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

下获得均匀支座反力的问题，通过引入支座反力方 化结果基本不产生影响。一个无约束的多目标优化
差约束来达到改进拓扑优化方法的目的。CAO 等 [11-12] 问题可描述如下 [18] ：
{ [ ]
提出了一种对输出载荷精确控制的结构拓扑优化设 min f = f 1 (x), ··· , f i (x) （1）
L
计方法，通过在载荷输出位置设计辅助杆单元将输 s.t. x ⩽ x ⩽ x U
L
U
出载荷约束转化为节点的位移约束，从而降低了优 式中，f 为目标函数；x 为设计变量；x 、x 分别为设
化问题的复杂程度。HOU 等 [13] 为了避免紧固件在 计变量的上、下界。
大变形下可能产生的节点失效，将几何非线性理论 遗传算法首先在解空间内产生初始种群，然后
与拓扑优化方法相结合，对紧固件节点载荷进行了 计算初始种群中每一个个体的目标函数值，再根据
优化控制。TANG 等 [14] 针对热弹性结构在工程实践 个体的目标函数值确定其适应度值，最高适应度值
中的设计要求，提出了一种基于热弹性理论的载荷 的个体用于减小目标函数值，再通过选择、交叉、变
分配拓扑优化方法。谷小军等 [15] 建立了火箭发动机 异来产生下一代种群。对于多目标优化问题，可采
机架与舱段传力结构一体化优化模型，完成了联合 用加权的方法将多目标问题转变为单目标问题，但
最优传力路径分析及整体刚度最大化设计工作。李 很难去判断实际问题中的各目标权重。遗传算法多
佳霖等 [16] 针对运载火箭传力机架，在可移动变形组 目标优化可以规避选择权重因子的问题，该算法在
件方法的框架下提出了一种有效的轻量化设计方 多目标遗传优化中引入了 Pareto 过滤操作，从而可
法。目前的研究主要针对的是静力环境下的载荷传 以得到多目标优化问题的 Pareto 解集。关于遗传算
递结构优化，但结构的实际工作环境往往是动力学 法在多目标优化中的应用可参考文献 [18]。

环境。因此，对载荷传递结构在动力学环境下的优
1.2 边界条件等效方法
化进行研究具有必要性。
需注意，在实际的结构优化设计工作中，往往是 通过试验或有限元计算得到整体结构的固有频
抽取出结构的局部零部件进行优化设计，这些局部 率 Ω 与模态 Φ，并从整体结构的模态中提取出与局
件一般只占整体结构的小部分，而整体结构的分析 部结构自由度相对应的模态 Φ p ；同时建立局部结构
由于耗时耗资却被经常忽略。大多数局部结构由于 的有限元模型，用弹簧单元与集中质量单元来分别
其周围结构的弹性以及惯性的影响，往往都处于非 等效边界刚度与边界质量。
理想边界条件之下 [17] ，在结构优化设计时考虑到周 对于固有频率，边界条件等效的目标函数可表
围结构对于局部结构边界条件的影响。因此，在开 达为：
2
展结构优化设计工作之前，需要对局部结构的边界 F f (x) = |r(x)| （2）
条件进行识别与等效，为结构优化提供准确的输入 N
式 中， N 表 示 选 定 的 固 有 频 率 个 数 ； r(x) = [r 1 (x),
模型。
r 2 (x), ··· , r 3 (x)]为固有频率相对误差矢量。设计变
基于上述背景，本文建立了一种基于边界条件
量包括弹簧单元弹性系数与集中质量单元质量大
等效的动载荷传递结构动力学拓扑优化方法。该方
小。第 i 阶固有频率的相对误差可表示为：
法首先将局部结构与整体结构之间的连接边界简化
ω i (x)−Ω i （3）
为弹簧单元与集中质量单元，利用遗传算法的多目 r i (x) =
Ω i
标优化得到合适的单元参数，从而实现边界条件的 式中，ω i 表示计算得到的局部结构第 i 阶固有频率；Ω i
等效。再以 SIMP 方法为基础建立拓扑优化模型，通 表示通过试验或计算得到的整体结构第 i 阶固有频率。
过连接边界上的弹簧单元将输出载荷约束转化为弹 对于主振型，目标函数可表示为：
簧单元的节点位移约束，从而对动载荷输出进行控 n ∑
q i (x)
制 。 最 后 利 用 移 动 渐 近 线 算 法（ method of moving F s (x) = 1− i=1 （4）
N
asymptotes，MMA）更新设计变量直至优化结果收敛。
式中， q i (x)表示模态置信准则 MAC 值，可表示为：

2
T
φ Φ pi
i
1 基 于 遗 传 算 法 的 边 界 条 件 等 效 q i (x) = ( T ) ( T ) （5）
φ φ i Φ Φ pi
i pi

式中， φ i 为计算得到的局部结构第 i 阶主振型； Φ pi 为
1.1 基于遗传算法的多目标优化算法
通过试验或计算得到的整体结构与局部结构自由度
遗传算法是一种模拟生物在自然环境中遗传和 相对应的第 i 阶主振型。
进化的优化算法，其相对梯度优化算法的优势在于 本文边界条件等效方法的流程图如图 1 所示，
可以更好地找到全局最优解且初始点的选择对于优 对应的多目标优化问题可表示为：