Page 17 - 《振动工程学报》2025年第9期

第 9 期 张理昊，等：基于边界条件等效的载荷传递结构动力学拓扑优化 1947

给定初始 荷。 u m 可以通过下式得到：
边界条件
u m = T m u （13）
式中， T m 为一个系数矩阵且在第 m 个自由度的值为
计算当前条件 1，其余自由度的值全为 0。
下的目标函数
本文构造以下公式来控制优化过程中相应的输
出负载：
目标函数
是否收敛 R m−1 (1−w) ⩽ |u m | （14）
是 ⩽ R m−1 (1+w)
|u m−1 |
否
式中， R m−1 表示动载荷输出比值；w 表示约束区间相
利用遗传算法 等效后的边界
更新边界条件 条件 对宽度。

图 1 边界条件等效方法流程图 实际工程中可能需要控制载荷输出的位置不止
Fig. 1 Flow chart of equivalent boundary conditions method 一处，那么就会产生多个约束，从而对结构优化问题
{ [ ] 的求解造成很大的麻烦。使用一些约束聚合方法可
min F(x) = F f (x), F s (x) （6）
L
s.t. x ⩽ x ⩽ x U 以减少约束的个数，使问题求解变得较为简单。KS 函

数方法 [18] 是一种被广泛应用的约束聚合方法，其标
2 输 出 动 载 荷 约 束 的 拓 扑 优 化 形 式 准形式可写为：
1 n ∑
G KS = g max + ln e µ(g i −g max ) （15）

µ
2.1 动载荷可控传递数学模型 i=1
式中， g i 为结构设计问题中的第 i 个约束； g max 为当前
对于动力学问题，假设输入载荷为简谐激励，其 设计点评估的所有约束的最大值；μ 为聚合参数，一
控制方程可写作： 般取为 50 即可满足需求；n 为约束数量。

F(t) = Ku(t)+C˙u(t)+ M¨u(t) （7） 针对动载荷精确输出问题，约束可分为两类：
式中，K 为结构的刚度矩阵；C 为结构的阻尼矩阵；  |u m |

 g up = −R m−1 (1+w) ⩽ 0


、
˙
M 为结构的质量矩阵； u(t) u(t)和 ¨ u(t)分别为结构的  m−1 |u m−1 | （16）


 |u m |

位移、速度和加速度矢量； F(t)为输入简谐载荷矢  low = − +R m−1 (1−w) ⩽ 0

g

 m−1
|u m−1 |
量，可以改写为 F(t) = Fe jωt (j = −1)，其中 ω 为简谐激
2
本文中动载荷精确输出约束可聚合为：
励的频率。阻尼矩阵 C 选择瑞利阻尼模型：
1 n ∑[ µ(g up −g max) µ(g low −g max) ]
C = αM +βK （8） G KS = g max + ln e m−1 +e m−1 ⩽ 0 （17）
µ
m=2
式中，α 和 β 为瑞利阻尼系数。
假设结构位移解的形式为 u(t) = ue ，代入式 (7) 2.3 拓扑优化模型
jωt
可得：
本文的载荷输出控制的拓扑优化模型可以定义为：
2
F = (K +jωC−ω M)u （9） [ ]
find η = η 1 , η 2 , ··· , η n ，
式中，u 为结构位移。此时可以定义结构动刚度：
min d = |c d | = u K d u，
T

2
K d = K +jωC−ω M （10）
s.t. V ⩽ V , G KS ⩽ 0，
∗
结构位移 u 与 F 的关系可以表示为：
0 ⩽ η i ⩽ 1，i = 1,2,··· ,n （18）
K d u = F （11）
式中， η 为设计域内描述材料分布的伪密度设计变

i
2.2 动载荷精确输出约束 量；目标函数 d 为结构动柔度 c d 的模值； K d 为结构动
*
刚度矩阵；V 为材料体积； V 为体积上界。
上一节已将整体结构对局部结构的边界条件等
本文在拓扑优化过程中选择有理近似模型（rational
效为边界处的弹簧单元与集中质量单元，同时载荷
approximation of material properties，RAMP） [19] ，与 SIMP
输出位置多在局部结构的边界上，因此我们可以将
相比，RAMP 可有效避免动力学拓扑优化中因刚度
边界处各节点的输出载荷等效为对应的节点位移输
与质量惩罚不一致而可能产生的局部模态。SIMP
出，如下式所示：
与 RAMP 的对比如图 2 所示，两种插值方法的惩罚
F m
u m = （12） 因子均为
k m 5。结果表明，当伪密度趋近于零时，SIMP
式中， u m 为结构 m 自由度对应的位移输出； k m 为 m 自 对伪密度的惩罚不够，而 RAMP 可以有效改善这一
由度对应的边界刚度； F m 为 m 自由度对应的输出载 问题。RAMP 的材料参数插值如下式所示：