Page 146 - 《振动工程学报》2025年第9期

2076 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

根据有限元基本理论，单元的质量阵可通过动 本次振动模态试验分别在悬臂和自由两种典型
能表达式来推导，即： 边界条件下进行。其中，悬臂状态将 50 mm 宽板边
1 w [ ( ) 2 ( ) 2 ] e 夹持，分别沿波纹母线和波纹方向来模拟，实际结构
e
2
E = ρ eq ˙u+Z ˙ θ Y + ˙v−Z ˙ θ X + ˙w dV =
k
2 V e 尺寸为 450 mm×500 mm。而自由状态将波纹夹芯板
1 w [ ( ) ( )
2
2
2
I ˙u + ˙v + ˙w +2I ˙u ˙ θ − ˙v ˙ θ + 用一个细软的橡皮绳悬吊在空中来模拟。此时结构
2 Ω e 0 1 Y X
( )] 虽有一些刚体模态，但其固有频率基本为 0，远低于
2
I ˙ θ + ˙ θ 2 Y dΩ e （25）
2
X
波纹夹芯板的弹性模态的固有频率。在板上不同位
其中：
置分别安装 3 个加速度传感器，其安装位置如图 4
3 ∑w
Z i+1
k
I = ρ eq Z dZ；k = 0，1，2 （26） 中的红框所示。利用逐点敲击方法，使用 LMS 模态
k
Z
i=1 i 分析软件获取结构的固有频率和振型，并与等效模
于是，由式 (25) 可得波纹夹芯板的等效单元质
型计算结果进行对比，以验证简化模型计算结果的
量阵为： 准确性。
w
e
T
m = N I m NdΩ e （27）
Ω e
其中：
 
 I 0 0 0 I 
 0 1 
 
 0 I 0 −I 0  
 

 0 1 
   
I m =  0 0 I 0 0   （28）

 0 
 
 
 0 −I 0 I 

 1 2 0  
 
 
I 0 0 0 I
1 2
对于波纹夹芯板结构的无阻尼自由振动，经过
有限元离散化后，其特征方程为：
( )
2
K −ω M ϕ i = 0；i = 1,2,··· ,n （29）
i

式中，K 和 M 分别为结构的总体刚度和质量阵，分别 图 4 自由边界试验模型安装示意图
e
由单元的刚度阵 k 和质量阵 m 组装而成；n 为所求 Fig. 4 Installation diagram of the free boundaries experiment
e
总的模态阶次；ω i 表示结构第 i 阶固有圆频率，f i = model

ω i
称为系统的第 i 阶固有频率，单位为 Hz，相应的
2π
振型为 ϕ i 。求解该特征方程，即可得到波纹夹芯板 3.2 试验与数值计算结果对比分析
的固有频率和振型。下节将通过模态实验与计算结
根据有限元模型收敛性分析结果，将波纹夹芯
果对比分析，验证所推导的波纹夹芯板等效有限元
板划分成 10 mm×10 mm 网格。利用 MATLAB 软件
模型的正确性。
编程，可获得波纹夹芯板结构的固有频率和振型。

表 2 列出了由试验和计算得到的波纹夹芯板结构在
3 波 纹 夹 芯 板 振 动 试 验 与 数 值 计 算 自由边界条件下前 5 阶的固有频率。作为对比，表
对 比 研 究 中也同时列出了基于一阶剪切变形理论计算得到的
结果。

3.1 试验设置 为从总体上考察两种简化等效模型计算结果与
试验结果的准确性，按下式可计算两种模型的均方
振动试验采用两组中间芯层规格不同的波纹夹
根误差 (root-mean-square error，RMSE)：
芯板结构。为了便于区分，将这两种不同厚度的波
v
t
纹夹芯板称为厚 (夹芯) 板和薄 (夹芯) 板。波纹夹芯 S e = 1 n ∑ e 2 ri （30）
板来自德国 Metawell 公司 500 mm×500 mm 的全铝合 n i=1
金材质板，其基本材料属性及波纹尺寸如表 1 所示。 式中，e r 为第 i 阶频率的相对误差；n 为所求总的模
i

态阶次 (n=5)。
表 1 波纹夹芯板基本材料属性与厚度尺寸
由表 2 可知，与试验结果相比，基于三阶剪切变
Tab. 1 Material properties and dimensions for tests
形的等效模型计算所得波纹夹芯板结构前 5 阶固有
波纹芯
材料 波纹周 波纹高 面板厚 弹性模量 密度ρ/ 泊松 频率的均方根误差，明显小于基于一阶剪切变形等
厚度 t c
‒3
参数 期2c/mm 度2h/ mm 度/mm E/GPa (kg·m ) 比μ
/mm 效模型的误差。证明了基于三阶剪切变形等效模型
厚板 14.28 9.5 计算波纹夹芯板结构固有频率时，比一阶等效模型
1.0 0.3 71.0 2800.0 0.33
薄板 8.5 4.0 具有更高的精度。