Page 144 - 《振动工程学报》2025年第9期

2074 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

(
w c M ∂M N ∂N T ∂T ) dx 式中，A x 为等效单元的面积；l z 代表 z 方向的长度。
y
δ = + + （4）
F z 0 EI ∂F EA ∂F κGA ∂F cosθ
x
z z z 其他等效剪切和拉伸弹性模量的推导过程与 G z 的
( )
w
c M ∂M N ∂N T ∂T dx
δ = + + （5） 推导过程类似，这里不再赘述。此外，等效模型的泊
M
0 0 EI ∂M EA ∂M κGA ∂M cosθ
0 0 0 松比 μ y 和材料密度 ρ e 的分析推导过程，可参考文
q
x
式中，EI、EA 和 κGA 分别为抗弯、抗拉和抗剪刚度；
献 [12, 18]。
κ 为剪切修正系数，本文取 κ=5/6。
将式 (2) 代入式 (3)～(5)，由于结构应处于纯剪状
2 波 纹 夹 芯 板 有 限 元 等 效 模 型
态，最高点的转角 δ M 0 和竖直位移 δ F z 需为 0。经简单
推导，可得：

a a a 2.1 三阶剪切变形理论

11 12 13
a 21 a 22 a 23

为了构造波纹夹芯板等效有限元模型，首先需
1 a 31 a 32 a 33
δ = （6）
EA a a 确定夹芯板结构的截面横向剪切变形。为此，国内
F x
22 23
a a 外学者已经提出了多种变形理论。对于工程结构中

32 33
其中：
w [ ( ) 2 ] 大量使用的中厚板或厚板，MINDLIN 提出了考虑剪
c 12 π x 2(1+µ) dx
2
2
a = h+hcos + cos θ+ sin θ ， [19] [20]
11
0 t 2 c κ cosθ 切变形的一阶剪切变形理论 。在此基础上，REDDY
[
w c 12 ( π x ) 进一步提出了三阶剪切变形理论，即假设变形前垂
a = a = h+hcos (c− x)−
12
21
0 t 2 c 直于平板中面的直线，变形后为三阶曲线。与实际
]
2(1+µ) dx
sinθcosθ + sinθcosθ ， 变形情况相比，三阶剪切变形理论能更好地反映中
κ cosθ
厚板、复合材料层合板 [21] 等截面的剪切变形和剪应
w ( )
c 12 π x dx
a = a = − h+hcos ， 力沿厚度方向的分布情况。本文将采用三阶剪切变
13
31
0 t 2 c cosθ
[
w c 12 2(1+µ) ] dx 形理论描述波纹夹芯板的变形。
2
2
2
a = (x−c) +sin θ + cos θ ，
22 2
0 t κ cosθ 根据三阶横向剪切变形理论 [20] ，板内任意点的
w
c 12 dx
a = a = (x−c) ， 位移为：
23 32 0 t 2 cosθ ( )
w c 12 dx 4Z 3 ∂w 0 ，
a = （7） u(X,Y,Z) = u (X,Y)+Zθ (X,Y)− 2 θ +
0
Y
Y
33 2 3H ∂X
0 t cosθ
( )
在一个胞元内，单位载荷 F x 实际是由左右两部 4Z 3 ∂w 0
v(X,Y,Z) = v (X,Y)−Zθ (X,Y)− −θ + ，
X
0
X
分的半波纹芯共同承担的，如图 3 所示。由于这两 3H 2 ∂Y
部分是对称的，因此在自由边的真实水平位移 δ x 仅 w(X,Y,Z) = w (X,Y) （10）
0
为半波纹位移 δ F x 的一半，即： 式中，θ X 为板中面法线绕 X 轴的转角；θ Y 为板中面
1
（8） 法线绕 Y 轴的转角；H 为整个板的厚度。若不考虑
δ x = δ F x
2
u 和 v 表达式中的第三项，则三阶横向剪切变形退化
2c
为一阶剪切变形模型。
δ x δ x
F x
对于正交各向异性板，根据材料的物理方程，板
内各点的应力-应变关系为：
2h
 (i)  (i)  
 σ   Q Q 0   ε 
 X   11 12   X 
     

 



z  σ  =  Q Q 0   ε  （11）


 Y    21 22   Y 
     
 τ XY  0 0 Q 66 γ XY 
 
o x
τ YZ Q 44 0 γ YZ
{ } (i) [ ] (i) { }
图 3 一个完整波纹芯胞元受 F x 作用的变形状况 τ = 0 Q γ （12）
XZ 55 XZ
Fig. 3 The deformation of a complete corrugated core under
式中，i = 1, 2, 3 分别代表波纹夹芯板的上面板、波纹
the force F x
芯层等效板和下面板。各弹性系数分别为：

根据剪切模量的定义，波纹芯的等效剪切模量 E E µ
(i)
(i)
(i)
Q = X ，Q = Q = Y XY ,
G z 为： 11 1−µ µ YX 12 21 1−µ µ YX
x
XY
XY
F (i) E Y (i) (i)
x F x Q = ，Q = G ，Q = G ,
55
XZ
22
44
YZ
τ A xy 2cb 2h 1−µ µ YX
XY
G = zx = = = （9） (i)
zx
γ zx δ x δ x cδ F x Q = G XY （13）
66
l 2h 以上本构方程的矩阵形式为：
z