Page 145 - 《振动工程学报》2025年第9期

第 9 期 王竟尧，等：波纹夹芯板等效有限元建模及其振动特征参数计算与试验验证 2075

{ } (i) [ ] (i) { } 每个节点共有 个相互独立的自由度：u j 、v j 、w j 、θ Xj 、
σ Q m 0 ε （14） 5
τ = 0 Q γ θ Yj 。对板内各点位移分别进行插值 [22] ，得：
s
此外，根据应变与位移之间的几何关系，由式 4 ∑ 4 ∑
u = N (ξ,η)u , v = N (ξ,η)v ,
(10) 可得各应变分量为： j j j j
j=1 j=1
   (0)   (1)   (3) 
 ε   ε   ε   ε  4 ∑ 4 ∑
 X   X   X   X 








Y  +Z  ε
Y  +Z  ε


ε =  ε  =  ε (0)   (1)  3  (3)  （15） w = N (ξ,η)w , j θ = N (ξ,η)θ ,

j
X j
X
j

 Y       Y 
       
 γ XY   γ (0)   γ (1)   γ (3)  j=1 j=1
XY
XY
XY
4 ∑
{ } { (0) } { (2) }
γ γ γ θ = N (ξ,η)θ , j = 1, 2, 3, 4 （20）
γ = YZ = YZ +Z 2 YZ （16） Y j Y j
(0)
(2)
γ γ γ j=1
XZ XZ XZ
其中，各阶应变分量为： 式中，N j 为单元的形函数，其表达式为：
1
 ∂u 
 0  N = (1+ξ ξ)(1+η η) （21a）
  j j j
 
  4
 (0)   ∂X 
 ε   




 X   ∂v  式 (21a) 中的无量纲坐标分别为：




(0)

ε =  ε (0)   0  （17a）



 Y  =   
   ∂Y  X X
 γ (0)     j






XY  ∂u ∂v   ξ = ∈ [−1, 1], ξ =
 0   j

 0   a a
 + 
  （21b）
∂Y ∂X  Y

 Y
 j
 η =

 ∂θ   ∈ [−1, 1], η =
j
 Y  b b
 
 
 
 (1)   ∂X 
 ε    式中，ɑ、b 为矩形板单元长度的一半。




 X   ∂θ 




(1)
ε =  ε (1)   − X  （17b） 将位移表达式 (20) 代入式 (17)，可得如下形式的


 Y  =  


   ∂Y 
γ  ∂θ 
 (1)   

XY



 Y ∂θ  应变-位移关系式：
 X 
 − 
 
∂Y ∂X (0) (0)e e (1) (1)e e (3) (3)e e
ε = B j d , ε = B j d , ε = B j d , j
j
j
j
j
j
2
 ∂θ ∂ w 
 Y 0  (0) (0)e e (2) (2)e e
  γ = B d , γ = B d （22）
 + 
  j sj j j s j j
 (3)   ∂X ∂X 2 
 ε   




2
 X   ∂θ ∂ w  其中：



(3)



ε =  ε (3)  4  − X + 0  （17c）
Y  = −

  2  2  [ ] T
  3h  ∂Y ∂Y 
γ XY  2  d = u j v j w j θ X j θ Y j （23）
 (3)    e


 ∂θ
j


 Y ∂θ X ∂ w 
0 
 +2 
 −   
∂Y ∂X ∂X∂Y  ∂N j 
 0 0 0 
 0 
    ∂X  

 ∂w    

{ (0) }  −θ + 0    ∂N  


γ  X ∂Y  (0)e    j    （24a）


(0)

γ = YZ =  （17d） B j =   0 0 0 0  
(0)
γ  ∂w     ∂Y   



XZ
 θ + 0    ∂N ∂N   





Y

∂X   j j 0 0 0   
  ∂Y ∂X
 ∂w 

{ (2) }  −θ + 0   


γ 4  X  ∂N

(2)
γ = YZ = −  ∂Y  （17e）   0 0 0 0 j    

(2)
γ 2  ∂w    




XZ h  0   ∂X  
 θ +    ∂N  



Y
∂X B (1)e    j    （24b）
j =   0 0 0 − ∂Y 0    


由于本文研究的波纹夹芯板由上、下面板和波      
  ∂N ∂N  
  0 0 0 j j  
纹芯层三部分组成，等效模型的应变能也由这三部 − ∂X ∂Y
分组成，其表达式为：  ∂ N 
2
 j ∂N 
j 
 0 0 0 

 
1    
3 ∑ 3 ∑w   ∂X 2 ∂X  
(i)
(i)
(i) T
2
U = U = (σ ) εdV = (3)e 4    ∂ N ∂N   


2 V (i) B = − 2  0 0 j − j 0  （24c）



i=1 i=1 j 3h  ∂Y 2 ∂Y  
     
2
1 3 ∑w [ (i) T (0) (i) T (1) 3 (i) T (3)     ∂ N j ∂N j ∂N   
j 
(σ ) ε +Z(σ ) ε +Z (σ ) ε +  0 0 2 − 
2 V (i) ∂X∂Y ∂X ∂Y
i=1  
(i) T
(i) T
(0)
(τ ) γ +Z (τ ) γ (2) ] dV (i) （18）   0 ∂N j  
2

  0 −N j 0   
B (0)e   ∂Y    （24d）
式 (18) 中的体积分可进一步改写为： s j =    ∂N  
  j  
 0 0 0 N 
  j
3
3 ∑w w ∑w Z  ∂X
(i)
dV =     i+1 dZ   dΩ （19）  

V (i) Ω  Z   ∂N j 

i=1 i=1 i 4   0 0 −N j 0    

∂Y
式中，Ω 代表单元的面积。将式 (19) 代入式 (18)，可 B (2)e = − 2      ∂N      （24e）
s j
h    j   
得等效模型的应变能表达式。 0 0 ∂X 0 N j

将式 (22) 代入式 (18)，根据最小总势能原理，可
2.2 等效有限元建模
得基于中间芯层等效模型的波纹夹芯板的弯曲单元
e
本文使用平面四节点的矩形等参板弯曲单元， 刚度阵 k 。