Page 163 - 《振动工程学报》2025年第8期

第 8 期 周智辉，等： 风与轨道不平顺随机激励下车辆-轨道系统耦合振动的概率密度演化分析 1803

图 3 轨道空间模型示意图
Fig. 3 Schematic diagram of spacial track model

下车辆‑轨道系统振动方程为： 有轨道不平顺和风荷载双重随机激励源，中间没有

é ̇
ê ê 0 ú ú ê ê ̈ ù ú ú ú ú + êê ê ê éC vv C vg ú ú ú ú ù ê ê X v ù ú ú ú ú + 新的随机源产生，则系统满足概率守恒条件，建立的
ú ú
éM vv
ê ê
ù éX v
ê ê
ê ê
ë 0 M gg û ëX g û ëC gv C gg ëX g û 广义概率密度演化方程为：
û
̇
̈
m
ê ê
ê
ê ê ê ê éK vv K vg ú ú êê ê ê ù ú ú ú ú = ê éP v( Θ，t ù ) ú ú ú ú （14） ∂p ZΘ( z，θ，t ) + ∑ Z i(θ，t) ∂p ZΘ( z，θ，t ) = 0 （15）
̇
ú ú
ù éX v
∂t
ê ê
ëK vg K gg û ëX g û ë P g( Θ，t ) û i = 1 ∂z i
当关注的响应量 m = 1 时，概率密度演化方程
式中， M vv、 C vv 和 K vv 分别为车辆结构的质量矩阵、阻
转化为：
尼矩阵和刚度矩阵； M gg 、 C gg 和 K gg 分别为轨道结构
∂p ZΘ( z，θ，t ) ∂p ZΘ( z，θ，t )
的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵； C gv 和 C vg 为车 + Z (θ，t) = 0 （16）
̇
∂t ∂z
辆‑轨道耦合部分阻尼矩阵； K gv 和 K vg 为车辆‑轨道
̇
式中，Z (θ，t) 为求解车辆‑轨道振动方程得到的特定
̇
耦合部分刚度矩阵；X v、X v 和 X v 分别为车辆结构的
̈
响应关于时间的导数项； Θ 为随机变量样本空间；
̇
̈
加速度、速度和位移向量；X g、X g 和 X g 分别为轨道结 θ 为随机变量代表性样本点集。
构的加速度、速度和位移向量； P v( Θ，t) 和 P g( Θ，t)
分别表示车辆和轨道结构的荷载向量，包含了横风 4. 2 求解演化方程
随机激励与轨道不平顺随机激励的直接影响，车辆
考虑边界条件 p ZΘ( z，θ，t)| z → ±∞ = 0，每组样本
的荷载向量应包括车体所受的横风作用力、车辆重
的初始赋得概率 ［21］ 为 P q = 1/n sel，采用 TVD 格式的
力以及轮轨相互作用力，轨道的荷载向量仅包括轮
双边差分法 ［20］ 求解一维偏微分方程得到联合概率密
轨相互作用力。
度函数 p ZΘ( z，θ，t)；使用 TVD 格式的双边差分法求
3. 3 求解代表性响应 解方程时，定义 λ 为网格划分时的时间步长和空间
步 长 之 比 ，即 λ = Δt Δz，须 满 足 CFL 稳 定 性 条 件
采用 Newmark‑β 法依次求解给定随机样本下
| λZ ( kΔt )| ≤ 1，k = 0，1，2，⋯。 对 样 本 空 间 上 的
̇
的车辆‑轨道系统振动方程，得到各样本作用下的车
̇
辆‑轨道系统振动响应 Z (t) 及其导数项 Z (t)，为概 p ZΘ( z，θ，t) 累加求和得到车辆‑轨道系统所关注响应
率密度演化方程的数值求解提供必要条件。 Z (t) 的概率密度分布值为：
p( z，t) = ∫ p ZΘ( z，θ，t) dθ （17）
4 求解响应的随机概率特征
根据式（17）可做出系统响应的概率密度曲线，
若车辆运行速度为 250 km/h，平均风速为 10 m/s，
4. 1 列出广义概率密度演化方程
−5
积分时间步长为 5.0✕10 s，代表性样本组数为 300
LI 等 ［20］ 基于概率守恒原理的随机事件描述，同 组，可得到车体横向加速度响应的概率密度演化图
时考察系统物理参数和激励随机性的动力系统得到 如图 4 所示。可见，采用本文所提方法能够获得车
了广义概率密度演化方程。假设车辆‑轨道系统只 辆‑轨道系统随机振动响应的概率密度分布信息。