Page 14 - 《软件学报》2025年第8期

谭思危 等: Fast-USYN: 从酉矩阵到高质量量子电路的快速合成 3437

上. 此外, 剪枝也使候选电路模块的门数量更少, 从而容易产生更高质量的电路, 如对于 4 量子比特的合成, 每个候
选电路模块的平均门数从 18.4 减少到 14.2, 减少了 23.1%.

表 1 剪枝前后的候选集对比

剪枝前 剪枝后
量子比特
候选数 门数 候选数 门数 覆盖率 (%) 剪枝率 (%)
4 1 042 18.4 19 14.2 84.3 98.18
5 1 452 21.0 27 18.0 87.5 98.14
6 1 963 27.2 35 22.9 82.8 98.22

● 收敛性保证. 基于 Solovay-Kitaev 定理 [23] 可知, U 门和 CRZ 门可以实现通用量子计算 (universal quantum
computing), 即可以使用该门集合逼近任意酉矩阵. 因此, 只需要证明 Fast-USYN 的候选电路集合和 U 门和 CRZ
门的表示空间等价, 就可以保证 Fast-USYN 的收敛性. 以下为等价性的推理:
1) Fast-USYN 所用的候选集合由任意角度单比特旋转门 U 和 CRZ 门组成. 当这两种门的参数为 0 时, 它们的
酉矩阵都为单位矩阵, 即等价于不操作门.
2) 对于每一个比特或两比特组合, 只需要存在一个候选组合包含其对应的 U 门或 CRZ 门, 则这个候选集合
就可以通过设置其他门参数为 0 表示这个 U 门或 CRZ 门.
3) 步骤 2) 中的要求是易实现的. 因为 Fast-USYN 在候选集构造的约束组合问题中, 要求候选量子电路的覆盖
率大于一个较高的阈值. 同时初始候选电路构造包含所有的量子门组合.
综上所述, Fast-USYN 的候选电路集合是可首选的.

4 希尔伯特-斯密特参数优化
本研究所使用的候选量子电路由参数化的门组成, 所以需要为每个候选电路搜索距离目标矩阵最近的门参
数. 目前参数搜索通常采用的是随机梯度下降法 (stochastic gradient descent). 其参数求解过程包括: 1) 初始化一个
随机参数; 2) 计算量子电路在当前参数下的酉矩阵; 3) 计算电路与目标酉之间的 MSD; 4) 根据 MSD 计算参数的
梯度, 更新参数, 然后重复第 2)、3) 和 4) 步. 在 Fast-USYN 中, 本研究通过将第 2) 和 3) 步打包到希尔伯特-施密
特测试电路中, 以加快距离计算和参数更新. 打包的希尔伯特-施密特测试电路在基态上的期望和 MSD 线性相关,
而期望计算相较于计算 MSD 具有较低的复杂度.
图 5 展示了用于比较合成电路和目标酉矩阵相似度的希尔伯特-施密特测试电路, 它由个量子比特组成. 电路
和目标酉矩阵的共轭 (以 U 表示) 应用于电路中间的每个量子比特. 从数学上讲, 电路得到全 0 输出的概率等于:
†

( ) 2
1
P(00...0) = tr U † U target (4)

D 2 circuit
其中, D 为酉矩阵 U target 和 U circuit 的维度. 具体来说, 公式 (4) 成立是因为图 5 中电路可以分成 3 个阶段.

参数

电路
0 H H
argmax P(00...0)
0 H H params
...
0 H H
0 最大化期望问题等于最小化
0 距离问题, 因为
*
U target
...
MSD=1− P(00...0)
0
图 5 使用希尔伯特-施密特测试电路进行参数优化