Page 164 - 《爆炸与冲击》2026年第9期

第 46 卷 梁 霄，等： 基于流形上概率学习的PBX9502冲击起爆试验不确定度量化 第 9 期

B 的 元 素 均 非 负 ， 故 P 的 元 素 也 非 负 且 满 足 10 0
n d
∑
p ij = 1 ， 因 此 P 可 以 看 作 与 训 练 集 矩 阵 η d =

10 −2
j=1
{η ,η ,··· ,η } 相关图上随机游走的转移矩阵。
d
d
d
2
1
N
P 的 特 征 向 量 ψ i (i = 1,2,··· ,n d ) 满 足 Pψ i = λ i 10 −4

˜
1/2
φ i = B ψ i (i=1,2,··· ,n d ) P= B PB −1/2 =
1/2
λ i ψ i 。令 ，
˜
B −1/2 KB −1/2 ，则 Pφ i = λ i φ i 。且 {φ 1 ,φ 2 ,··· ,φ n d } 张成 10 −6
} = R n d 。此外，将特
的线性子空间 L{φ 1 ,φ 2 ,··· ,φ n d
征 值 按 照 降 序 排 列 得 到 1 = λ 1 > λ 2 ≥···≥λ n d 。 10 −8 0 5 10 15 20 25
转移矩阵 P 的特征值降序排列见图 2。 i
存 在 常 数 m≤n d ， 使 得 训 练 集 D train ∈ L{ψ 1 , 图 2 转移矩阵的特征值的递减排列

ψ 2 ,··· ,ψ m } ⊂ R n d [25] 。 将 耗 散 映 射 基 函 数 定 义 为 Fig. 2 Descending eigenvalue of transition matrix

{g 1 , g 2 ,··· , g m } ， 其 中 g i = λ ψ i ∈ R n d （ i = 1 , 2 , · · · ,
k
i

λ k λ i 在第 k = 1 ，代表单步转移概率。接着定义耗散映射
m， i 为 k 步的取值），用以分析 D train 的局部结构。
G = [g 1 , g 2 ,··· , g m ](m≤n d ) 。利用图 ε DM = 4，m = 3 。
矩阵为 2 中信息得到
R N D train 的局部几何结构。由
令耗散基函数生成的线性空间 L{g 1 , g 2 ,··· , g m } 为 的子空间，用来描述
T L{g 1 , g 2 ,··· , g m } ⊂ R N T −1
于 ψ i Bψ j = δ ij (i, j = 1,2,··· ,m) ，故矩阵 G G 可逆。 上的投影映射定义为 A = G(G G) ∈
R N×m 。然后，利用随机矩阵 Z 构造降阶表达 H：
H = ZG T Z ∈ R υ×m (8)
则
Z = HA (9)
2.5 学习集的构造
通过投影法（2.4 节），定义限制在流形上的 Itô方程，其中 Gauss 核密度估计（式 (6)）是随机微分方程
Z(t),Y(t) ∈ R υ×N ，代表稳态 Markov 过程，具有如下形式：
的不变测度。具体而言，令

 dZ = Y(t)dt
1 √ (10)
 dY = L(Z(t))dt − f 0 Y(t)dt + f 0 dW
2
Z(0) = H d A,Y(0) = KA, K ∈ R υ×N ，其中 K 的列向量是独立的正态 H d ∈ R υ×N 是一个随机
式中： Gauss 向量，
T
η d W ∈ R υ×N υ 维标准 L(Z(t)) = L(Z(t)G ) ∈ R υ×m 。泛函 L(u) 定义为：
矩阵，样本为 ； 的列向量是 Wiener 过程；
1
[L(u)] = p(u j )} (11)
ij {∇ u j i
p(u j )
N Ç å
2
1 ∑ 1 ˆs
ρ(u j ) = exp − (12)
N 2ˆs 2 s SB u i −u j
i=1
2
N Ç å
1 ∑ ( ) 1 ˆs ˆ s
ρ(u j ) = τu i −u j exp − τ = , ι = ˆs 2 (13)
ιN 2ˆs 2 s SB s SB
∇ u j u i −u j
i=1
等步长 Störmer-Verlet 格式用以解决 Wiener 过程驱动的耗散 Hamilton 动力系统，离散化后得到：
H = Z (lν)G T ν = M 0 ∆t, l = 1,2,··· ,n MC (14)
∆t = 0.238 ，l 为 MC 抽样次数。
式中：经验参数 M 0 = 18 ，时间步长
2.6 流形上采样
图 3(a) 为原始数据在 p-x 空间的投影。将采样公式（式 (14)）代入仿射变换（式 (3)）后得到感兴趣量
*
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