Page 163 - 《爆炸与冲击》2026年第9期

第 46 卷 梁 霄，等： 基于流形上概率学习的PBX9502冲击起爆试验不确定度量化 第 9 期

0.8

0.6

µ (k) 0.4

0.2

0
1 2 3 4
k
图 1 协方差矩阵 C 的特征值
Fig. 1 Eigenvalue of covariance matrix C

2.2 基于主成分分析的训练矩阵的规范化

X ∈ R n d ×N 可以分解为
根据主成分分析（principle component analysis, PCA）原理，随机矩阵
1/2
X = X +ξµ H, H ∈ R υ×N (3)
ξ 为协方差矩阵 X = [m, m,··· , m] ∈ R n d ×N µ = diag{µ 1 ,µ 2 ,··· ,µ υ } 。将
式中： C 的特征向量矩阵，且 ；对角矩阵
X （即 X 的样本）代入式 (3)，得到 H 的样本点：
˜
η d = µ −1/2 T ˜ (4)
ξ (X − X)
d
d
η d = [η ,η ,··· ,η ] η ∈ R υ i = 1,2,··· ,N ，满足：
d
d
η d 按列分块得 1 2 N ， i ，
N N
1 ∑ d 1 ∑ d d T
m = η = 0, C = η (η ) = I υ (5)
′
′
j
j
j
N N −1
j=1 j=1
d
d
d
换句话说，PCA 变换（式 (3)）生成 N 个中心化、不相关的样本点集合 {η ,η ,··· ,η } 。
N
2
1
2.3 H 的 Gauss 核密度估计
采用 η d = {η ,η ,··· ,η } 用来构造随机向量的
d
d
d
Gauss 核密度估计（kernel density estimation, KDE）结合
1 2 N
概率密度函数：
N Ç å
2
1 ∑ 1 1 ˆs υ
d
ρ Y (y) = √ υ exp − η − y y ∈ R (6)
i
N ( 2πˆs) 2ˆs 2 s SB
i=1
式 中 ： ρ (y) 为 随 机 向 量 Y 的 取 y 时 的 概 率 密 度 ； ˆ s = s SB [s +(N −1)/N] −1/2 ， s SB = {4/[N(2+υ)]} 1/(υ+4) 为
2

SB
Y
Silverman 带宽； ||·|| 代表 R υ 中的 Euclid 范数。
由 2.2 节定义知， η d 是中心化、不相关矩阵。显然，当 η d 的列向量相互独立时，式 (6) 构成随机向量
Y 的 PDF。H 以 η d 为样本点， η 为 H 的列向量，当 η d 列向量相互独立，则
N
∏
ρ H (η) = ρ Y (η i )
i=1
成为随机矩阵 H 的 PDF。
2.4 耗散映射构造
与耗散映射相关的对称矩阵 K 和对角矩阵 B 定义为：
2
−1
K = [k i j ] , B = [b i j ] k ij = exp{−(4ε DM ) ||η i −η j || }, b ij = b i δ ij (7)
n d ×n d n d ×n d
n d
∑
b i = k i j δ ij 为 P = B K 。由式 (7)，矩阵 K 和
−1
式中： ， Kronecker 算子， ε DM 为光滑参数。构造规范化矩阵
j=1
094102-4