Page 171 - 《爆炸与冲击》2026年第5期

第 46 卷 怯亚东，等： 基于相场法与傅里叶神经算子的柱壳裂纹演化预测方法 第 5 期

为了简化表达，将等号右端的组合系数定义为广义迁移率参数 M，即 M = G c /η 。由此，上述方程转
化为标准的 Ginzburg-Landau (Allen-Cahn) 动力学方程形式：
ï ò
2(1−d)H d
˙
d = M − +l 0 ∆d (15)
G c f d l 0
该方程描述了一种梯度流过程，即相场变量 d 沿着能量泛函下降最陡峭的方向随时间的演化。
1.2.2 显示时间积分方案
为了与在 VUMAT 子程序（Abaqus/Explicit）中采用的显式积分算法保持一致，对动力学方程应用一
阶显式向前欧拉差分离散化：
d n+1 −d n
≈ d ˙ n (16)
∆t
将式 (15) 代入该差分近似，得到相场更新的最终显式公式：

ï n n n ò
2(1−d )H d
n
d n+1 = d +∆tM − +l 0 ∆d n (17)
n
G c f d (d ) l 0
˙ n H ）采用如下迭代更
为了严格满足损伤演化的不可逆性条件，即 d ≥0，历史场变量 H （即公式中的
新法则：
{
n
n
H (x) = max H n−1 (x),ψ(ε ) } (18)
ψ(ε ) 为当前时间步的有效应变能密度。上述显式递推格式构成了本研究中 框架学习算子的
n
式中： FNO
物理基础。
1.3 FNO 框架的数学支撑
基于上述相场剪切带方程，从数学上证明了本研究提出的串联 FNO 框架中 2 个关键映射算子的客
观存在性，并阐明了神经网络结构设计的物理依据。
1.3.1 用于裂纹/剪切带萌生的 FNO 模型
首先，考察演化初期的动力学行为，对应于裂纹/剪切带的萌生过程。将式 (15) 在时间域 [0, t] 上积
分，可得相场变量的解析形式：
w t
d(t) = d(0)+ MF net (τ)dτ (19)
0
F net (τ) 为净驱动力。其定义对应于 方程右端括号内的变分导数项：
式中： Ginzburg-Landau
2(1−d)H d
F net = − +l 0 ∆d (20)
G c f d l 0
2(1−d)H
在萌生阶段，初始状态通常为无损伤状态，即 d(0)=0。注意到驱动项 中显式包含了材料属
G c f d
G c (x) 。这意味着，对于给定的几何和载荷条件，任意时刻 d(t) 本质上是一个依赖于参数
性 t 的相场状态
G t ：
场 G c (x) 的泛函。因此，可以定义一个从参数空间到解空间的非线性解算子
d(t) = G t [G c (x)] (21)
式 (21) 表明，存在一个客观的算子 G t ，它直接将材料断裂韧性的空间分布映射为裂纹萌生阶段的时
空演化序列。本研究的第 1 个 FNO 模型（模型 1）正是通过数据驱动的方式学习这一解算子，从而解决
了演化初期的预测问题。
1.3.2 时间演化算子与序列近似
其次，考察裂纹扩展阶段的时间演化算子。从物理方程的角度，离散化后的递推公式 (21) 表明，相
d n H n 的动力学系统。
场的演化过程本质上是一个依赖于当前状态 和历史驱动变量
值得注意的是，在本研究的数据集生成与模型训练中，迁移率 M 被设定为全局常数，因此被视为算
H n ，其值取决于完整的应变历史，表现出强烈的路径依赖性。在纯
子的固有参数。然而，对于历史变量
H n 。
数据驱动的预测任务中，由于无法实时获取力学场信息，无法直接计算

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