Page 169 - 《爆炸与冲击》2026年第5期

第 46 卷 怯亚东，等： 基于相场法与傅里叶神经算子的柱壳裂纹演化预测方法 第 5 期

传统的神经网络最初设计为映射有限维欧氏空间之间的关系，其局限性在于它依赖离散输入进行
学习。为此，引入了一种新的范式——神经算子，它映射无限维欧氏空间之间的关系。基于这一架构的
神经网络具有强大的泛化能力，能够学习将输入函数空间映射到解空间的算子。神经算子可以通过学
u ∈ U 来求解偏微分方程（partial differential equation, PDE）。
习映射输入参数 a ∈ A 到解空间
D ⊂ R d d a d a 表示输入函数的维度。
假设 是一个有界开放集，定义 A = (D;R ) 作为输入函数空间，其中
d u D 上的可分 Banach 函数
U = (D;R ) 作为输出函数空间，其中 d u 是输出函数的维度。 A 和 U 都是定义在
R d a R d u 中。
空间，其值分别在 和
G: A → U 为满足 m a j 是从独立同分布的概率测度
令 PDE 解算子的非线性映射。对于样本 {a j ,u j } ，
j=1
u j = G(a j ) 表示相应的输出。
µ 中采样的，
minE a∼µ 为最小剩余弹性模量，为避免相场变量趋近于 1 时材料刚度矩阵出现数值奇异，引入该微
令
θ∈Θ
† Θ 表示
小正数，以保证有限元迭代过程的数值稳定性。参数映射 G : A×Θ → U 被构造为逼近 G ，其中
† † † †
θ
参数空间。在有限维空间 Θ 中，存在 θ ∈ Θ ，使得 G (·,θ ) = G † ≈ G 。神经算子通过最小化代价函数 C : U×
G 。
U → R 来逼近
†
minE a∼µ [C(G (a,θ),G(a))] (1)
θ∈Θ
D j = {x 1 , x 2 ,··· ,
由于输入函数 a j 和解函数 u j 通常是连续的，因此需要在离散点上进行评估。假设
m 来
{a j ,u j }
x m−1 , x m } ⊂ D 是 D 上的 m 个离散点，函数 a j 和 u j 表示为可访问的有限样本对。使用 m 对数据对 j=1
G Θ ，从而满足控制 PDE G: A → U 。
学习近似 G 的非线性微分算子 的映射
FNO 被广泛应用于流体动力学 [24] 和气候建模 [25] 等领域。通过学习从任意函数依赖到解的映射，
FNO 可以学习整个 PDE 族，并且具有强大的泛化能力。图 1 显示了 FNO 模型的架构 [26] 。在该模型中，
(0)
x ∈ R l×l×l v (x) =
x 代表单元的材料场，l 表示材料场的尺寸。输入 通过神经网络 P 被转换为高维输出
v (x) 随后被同时输入傅里叶层和 卷积层，表示为：
(0)
P(x) 。此高维输出 3D
( j)
v ( j+1) = H(v ) j = 0,··· ,L−1 (2)
v (x) 进行的更新步骤定义为：
(0)
对
( j)
( j)
v ( j+1) (x): = σ(Wv (x)+(K(a;ϕ)v )(x)) x ∈ D (3)
W : R 7→ R d v K : A×Θ K → L(U,U) 是非局部积分
d v
式中： σ(·): R 7→ R 是非线性激活函数， 代表线性变换，
算子。FNO 使用 K(a;φ) 作为参数化核积分变换，其定义为：
w
(j)
(j)
(K(a;φ)v )(x) = κ(x,y,a(x),a(y);φ)v (y)dy x ∈ D (4)
D
κ φ : R 2d+2d a 7→ R d v ×d v 是通过神经网络参数化的核函数，FNO 用傅里叶空间中的卷积算子来替代核积
式中：
−1
F
分算子。假设 κ φ (x,y) = κ φ (x−y) ，它简化为傅里叶空间中的基本乘法操作。假设 F 代表傅里叶变换，
代表傅里叶逆变换，方程 (4) 可以被简化为：
( ( j) ) −1 ( ( j) )
K(a;φ)v (x) = F F (κ φ )·F (v ) (x) x ∈ D (5)
κ φ ，核积分算子可以定义为：
通过傅里叶系数直接参数化
( ( j) ) −1 ( ( j) )
K (φ)v (x) = F R φ ×F (v ) (x) x ∈ D (6)
κ: D → R d v ×d v κ 是周期的，FNO 处理傅里叶级数的离散傅里叶
式中： R φ 为周期函数 的傅里叶变换。假设
k max 处截断级数展开。通常而言，更精细特征的高阶模式会被丢弃，以提高收敛速度和
模式，并在模式数
正则化效果。随后，通过傅里叶逆变换，频域被转换为时空域。最后一个傅里叶层的输出被输入到三维
卷积神经网络，该网络将数据转换为目标维度。FNO 使用快速傅里叶变换（fast Fourier transform, FFT）算
−1 ，从而实现快速高效的运算。
F
法计算 F 和

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