Page 170 - 《爆炸与冲击》2026年第5期

第 46 卷 怯亚东，等： 基于相场法与傅里叶神经算子的柱壳裂纹演化预测方法 第 5 期

a(x) Fourier layer 1 Fourier layer T u(x)
P Q

Fourier neural layer N

 L  −1
v(x) + σ

W

图 1 傅里叶神经算子模型的结构示意图
Fig. 1 Architecture of the Fourier neural operator (FNO) model
1.2 相场法模型基本原理
在本研究中，利用 FNO 模型预测相场方程描述的裂纹演化过程。为了准确捕捉材料内部裂纹的演化
特征，构建了 2 个 FNO 模型（简称模型 1 和模型 2），分别用于预测裂纹的初始化过程和后续的扩展过程。
1.2.1 动力学控制方程理论
在 zhang 等 [27] 建立的剪切带相场模型上进行 FNO 模型研究，为了清晰阐述裂纹演化的物理机制，
将推导过程整理为以下连贯的逻辑步骤。基于相场剪切带模型 [27] 进行推导，其相场控制方程可表示为：
˙
ηd = ∇· q+ Q (7)
˙
η ＞0 d 为相场变量，取值范围为 [0,1]。且：
式中： 为黏性系数；
q = l 0 G c ∇d (8)
1
′ ′
Q = −ω (d)H − G c α (d) (9)
c α
l 0 为相场模型的特征长度， G 为临界能量吸湿率，H
c
式中： 为历史最大应变能密度，ω(d) 为退化函数， c α
α(d) 为几何函数。且：
为能量归一化系数，
(1−d) 2
ω(d) = (10)
f d
f d 也是关于 的函数，但为了避免复杂的求导过程，计
式中： f d 为引入初始损伤效应的特征函数。虽然 d
d 0 ，即：
算 f d 时取上一时刻
Å ã
1
2
f d = (1−d 0 ) +a 1 d 0 1− d 0 (11)
2
a 1 为模型参数。
式中： d 0 为初始损伤变量，
从而在对 ω(d) 求导时避免对 f d 进行求导，简化推导过程。几何函数 α(d) 为：
α(d) = d 2 (12)
综合以上公式，相场控制方程可表示为：
2(1−d) G c
˙
ηd = H − d +G c l 0 ∆d (13)
f d l 0
为了确保量纲的一致性并提高数值计算的稳定性，需要对方程进行归一化处理。首先，将临界能量
G c 从方程右端的所有项中提取出来作为公因数。这一步操作将括号内的物理量量纲统一为长度
释放率
−1
的倒数 L ：
ï ò
˙ 2(1−d)H d
ηd = G c − +l 0 ∆d (14)
G c f d l 0

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