Page 194 - 《爆炸与冲击》2026年第3期

第 46 卷 廖祜明，等： 预测不同冲击载荷下弹药响应特性的HOTM方法 第 3 期

2.1 控制方程
Ω 0 ⊂ R 3 φ: Ω 0 ×[t 0 ,t] → R 3 φ 为位移，
假设参考构型中的连续介质 运动过程由变形映射 描述。其中，
R 3 为三维空间中的实数坐标系统。材料质点在参考构形和现时构形中的位
[t 0 ,t] 为运动过程的总时间，
x ∈ φ(Ω 0 ,t) ，则拉格朗日描述下质量守恒、动量守恒与能量守恒方程为：
置分别表示为 X ∈ Ω 0 和
(24)
ρ(x)J = ρ 0
ρ 0 ¨ φ = ∇ 0 ·(P equil +P vi )+ρ 0 B (25)

˙
˙
TD = P vi : F+Y · Z −∇ 0 · q+ρ 0 Q (26)
¨ φ 为加速度，P l 和 P 分别为第一 Piola-Kirchhoff 应力张量的
i
式中：ρ(x) 为现时构形中材料质点的密度， equi v
˙
D 为熵随时间的变化率，q 为热流，Y 为内部变量驱动力。
平衡力项和黏性力项，
2.2 时间离散
HOTM 方法将依赖于时间的变分框架（式 (1)）简化为以优化原理为特征的一系列增量问题。对于
[t k ,t k+1 ] ，若 k {φ k ,T k , Z k } 已知，则 1 {φ k+1 ,T k+1 , Z k+1 } 可
给定的时间增量 t 时刻的状态变量 t k+ 时刻下的状态变量
以通过最小化增量能量近似获得。基于 t 时刻的状态变量 {φ k ,T k , Z k } ，引入增量变分结构，即：
k
w
t k+1
˙
Φ k {φ k+1 ,T k+1 , Z k+1 } = inf Φ{ ˙ φ,T, Z}dt (27)
paths t k
采用 Wasserstein 距离来近似惯性项，而变分结构中的其他项则采用后向欧拉近似方法进行近似，可
得到半离散化（时间离散）的增量变分结构，即：
2
d (ρ k ,ρ k+1 ) w w
w
Φ k {φ k+1 ,T k+1 , Z k+1 } = + (W k+1 −W k )dV − ρ k B k+1 ∆φdV−
2∆t Ω k Ω k
w w w
T k+1 T k+1
f tran,k+1 ∆φdA+ ρ k Qlog ∆tdV − H k+1 log ∆tdA (28)
Γ tran Ω k T k Γ h T k
式中：d 为 w Wasserstein 距离，用于度量相邻时间步质量密度 ρ 与 k ρ 1 之间的最优传输代价；W 和 k W 1 分
k+ k+
别为 t 和 k t k+ 1 时刻的等效势能密度。
对半离散化的增量变分结构求极值，即：
infsupΦ k {φ k+1 ,T k+1 } (29)
φ
k+1 T k+1
Φk{φk+1,Tk+1} 的变分并施以平稳性作用，即等效为 2.1 节中所要求解的控制方程，可以得到当前时间步
取
内材料的热力耦合行为响应。
2.3 空间离散

HOTM 方法中采用物质点与节点相结合的 x
x β , k
x a , k β,k+1
方式对半离散增量变分公式进行无网格空间离 Neighborhood x a , k+1
散，所有的场变量信息分别由节点 x 和物质点 of material
a
point at t k
x 携带，如图 3 所示。
β
计算过程中，材料的物理信息（变形、应力
φ k→k+1 Neighborhood
和材料内部参数等）存储在物质点上，而计算邻 of material
域的动力学信息（位移、速度、加速度和温度等） point at t k+1
Nodes
存储于节点。计算邻域的运动通过节点的动力
Ω k Material points Ω k+1
学信息插值获得。通过 LME 插值函数 [45-46] ，物
图 3 空间离散示意图 [34]
质点在 t k+ 1 的位置、变形梯度和温度梯度等可通
Fig. 3 Spatial discrete schematic diagram [34]
过节点近似获得：
∑ ( )
x β,k+1 = x a,k+1 N a x β,k (30)
a∈N( x β,k)

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