Page 149 - 《爆炸与冲击》2026年第2期

第 46 卷 陈昊祥，等： 理想流体空穴湮灭能量汇问题的特征能量因子 第 2 期

2
F 1 = 4πR (p 0 − p 1 ) (22)
由式（14）可知液体的势能，即空穴边界的势能为：
3
E p0 = 4π(p 0 − p 1 )a /3 (23)
在空穴半径由 a 变为 R 的过程中，不平衡力 F 与内压力 p 做的功分别为：
1
1
w R 4 ( )
3
W = F 1 du a = π(p 0 − p 1 ) a −R 3 (24)
a 3
w R 4 ( )
2
3
W 1 = −4πp 1 r du a = − πp 1 a −R 3 (25)
a 3
式中：u 为 a r = a 处的径向位移。
根据动能定理可知，流体增加的动能为远场压力 p 做功与内压力 p 做功之差，即：
0
1
4 ( )
3
3
∆E k = W 0 −W 1 = π(p 0 − p 1 ) a −R =W (26)
3
于是可以得到一个重要的结论：空穴上不平衡力做功 W 等于流体动能的变化量。
此时，流体的势能为：
3
E p1 = 4π(p 0 − p 1 )R /3 (27)
势能的变化量为：
( 3 3 )
∆E p = ∆E p1 −∆E p0 = 4π(p 0 − p 1 ) R −a /3 (28)
比较式（26）、（28）可知，流体减少的势能完全转化为动能，满足能量守恒定律。
由式（22）～（28）可知，当空穴壁内压力 p 为零时，无限远处液体做功输入的能量即液体减少的势
1
能，将通过径向压力做功向空穴汇集，最后由空穴壁上的不平衡力做功释放出去并完全转化为液体的动
能；当作用于空穴壁上的内压力 p =p 时，空穴壁上的不平衡力为零，处于平衡状态。无限远处液体输入
0
1
的能量将全部用于抵抗内压力做功，液体减少的势能将不会转化为动能；当内压力 p 介于零和 p 之间
1
0
时，液体减少的势能除一部分用于抵抗内壁压力做功外，剩余部分将通过不平衡力做功释放且转化为液
体动能，此时势能转化为动能的效率则取决于内压力 p 与远场压力 p 的比值。
0
1
u a /a ≪ 1 时，式（24）～（28）可分别化为如下形式：
当
w r
2
2
W 0 = 4πp 0 r dr = p 0 ∆V = 4πa p 0 u a (29)
r−∆r
w
R
2
W = F 1 du a = 4πa (p 0 − p 1 )u a (30)
a
w R
2
2
W 1 = −4πp 1 r du a = p 1 ∆V = −4πa p 1 u a (31)
a
2
∆E k = W 0 −W 1 = 4πa (p 0 − p 1 )u a (32)
2
∆E p = −4πa (p 0 − p 1 )u a (33)
可以发现，此时所有的功和能量都正比于空穴壁的径向位移 u ，能量的可加性通过位移的可加性
a
表现。
2.4 理想流体空穴湮灭的能量汇因子
理想流体空穴湮灭过程中，势能转化为动能的效率取决于内压力 p 与远场压力 p 的比值，大小则等
1
0
于空穴边界不平衡力做功。类比于地下爆炸能量源问题中的特征能量，空穴边界上不平衡力沿径向位移
所做的功可以作为“能量汇”问题的特征能量。故描述“向心汇聚”问题对应的特征能量因子可表示为：
Å ã
W p 0 − p 1 R 3
k = = 1− (34)
Mc 2 P ρc 2 P a 3
023104-8