Page 148 - 《爆炸与冲击》2026年第2期

第 46 卷 陈昊祥，等： 理想流体空穴湮灭能量汇问题的特征能量因子 第 2 期

为了便于理解可做如下解释，设想在一个
无限空间中充满了压强为 p 的液体，该空间中
0
有一足够大的圆形容器（容器中也充满了压强
为 p 的液体），容器唯一的出口由面积为 S 的可
0
移动活塞封闭，如图 5 所示。 Cavity
p 0 p 0
当充满液体的圆形容器中形成了一个体积
Container
为 Ω 的空穴时，液体将向空穴中心移动。在液
体充满空穴的过程中，由于液体的不可压缩性，
活塞将被挤入一段距离 l，且 Ω =lS。此时空腔外 Plunger
部液体对活塞所做的功等于 p Ω，仅由远处液体
0
处的压力 p 与空腔体积 Ω 决定，而不依赖于气
0
泡的形状及其周围的压力分布。需要特别说明 图 5 空穴湮灭能量调整示意图
一下，该结论仅适用于不可压缩流体，对于固体 Fig. 5 The configuration for energy adjustment
材料势能的增量则依赖于工程的形状及其周围的压力分布 [24] 。
当球形空穴半径变化到 R 时，液体的动能和势能分别为：
w ∞ 1
2
2
E k = ρv dV = 2πρv R 3 (15)
R
r
R 2
4
E p = πp 0 R 3 (16)
3
根据能量守恒定律：
4 4
3
3
2
E total = 2πρv R + πp 0 R = πp 0 a 3 (17)
R
3 3
于是，可得：

Å ã
dR 2P 0 a 3
v R = = −1 (18)
dt 3ρ R 3
2.3 空穴湮灭问题中能量的转化与传递
研究湮灭过程中能量的转化和传递，对于理解“能量汇”问题具有重要意义。当空穴半径由 a 变
为 R 时，液体势能的变化量为：
4 ( )
3
∆E p = πp 0 R −a 3 (19)
3
由于无穷远处的液体压强 p 为定值且液体体积不可压缩，所以在空穴半径由 a 变为 R 的过程中，无
0
穷远处的液体压强 p 做功为：
0
w
r
2
2
W 0 = 4πp 0 r dr=4πp 0 r ∆r = p 0 ∆V (20)
r−∆r
∆V=4πp 0 (a −R )/3 。故式（20）可化为：
3
3
式中：
w r 4 ( )
3
2
W 0 = 4πp 0 r dr= πp 0 R −a 3 (21)
r−∆r 3
比较式（19）、（21）可以发现，液体势能的变化量等于无穷远处液体压力所做的功。这表明空穴形成
后液体增加的势能本质上是远处液体通过径向力做功输入的潜在能量。由于理想流体没有黏性且不可
压缩，所以由无穷远处输入的能量既不能以弹性能的形式储存在流体中，也不能因摩擦等因素耗散掉，
输入的能量将转化为液体的动能，实现了势能和动能之间的完全转化。
设想空穴形成的瞬间，在空穴的内表面产生了一个大小为 p （ 0≤p 1 ≤p 0 ）的压力，方向沿半径向外，
1
此时作用于空穴上的不平衡力为：
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