Page 147 - 《爆炸与冲击》2026年第2期

第 46 卷 陈昊祥，等： 理想流体空穴湮灭能量汇问题的特征能量因子 第 2 期

t=0 时刻流体内部突然形成了一个半径为 a 的真 r → ∞
空球形空穴。此时整个区域内流体的初始速度
以及作用于空穴表面的内压力均为零，求空穴湮
灭需要的时间 [22] 。
空穴形成后液体的流动是球对称的，且每 p 0 Streamline p 0
点的速度均指向空穴中心。球形空穴湮灭的过 Velocity v r a u a
程中伴随着能量聚集，能量以径向力做功的形式
由无穷远处向空穴汇聚，形成了典型的“能量
汇”问题。Rayleigh 利用能量守恒定律，第一次
得到了理想不可压缩流体中球形空穴径向运动
的解析式 [23] 。具体推导过程如下。 图 4 流体空穴湮灭问题的径向剖面图
球面坐标下的连续性方程： Fig. 4 Configuration for cavity annihilation in fluid

2 2
r v r = R v R (8)
v r 为距球形中心半径为 r 处流体的径向速度，R 为空穴半径（a 为空穴半径 R R≤a ），
式中： 的初始值，故
v R 为空穴边界处的径向速度。
假设流体的密度为 ρ，积分可得整个区域内流体的总动能：
w ∞ 1
2
2
E = ρv dV = 2πρv R 3 (9)
R 2 r R
在空穴半径由 a 变为 R 的过程中，由于无穷远处的液体压强 p 为定值且液体体积不可压缩，故无穷
0
远处液体压强 p 做功为：
0
w r
2
W 0 = 4πp 0 r dr = p 0 ∆V (10)
r−∆r
∆V=4πp 0 (a −R )/3 为球形空穴的体积变化量。
3
3
式中：
根据能量守恒定律可得：

Å ã
dR 2p 0 a 3
v R = = −1 (11)
dt 3ρ R 3
对式（11）积分可得空穴湮灭的时间：

3ρ w a dR
t 0 = √ (12)
3
3
2p 0 0 a /R −1
Rayleigh 使用的方法非常简单仅通过能量平衡即可描述理想流体球形空穴湮灭问题，但是推导过程
中使用的物理假设和数学方法并不严密。朗道 [22] 通过流体运动方程在数学上严格求解了空穴湮灭问
题，并证明了 Rayleigh 结果的正确性。但是，两者并未揭示空穴湮灭过程中能量平衡关系以及能量的调
整与传递过程。
2.2 空穴湮灭问题中的能量平衡关系
空穴形成的瞬间，原有的力学和能量平衡状态被打破，在空穴边界形成了一个不平衡力场和势能
场。在不平衡力场和势能场的作用下，液体向空穴中心流动，此时作用于空穴边界上的不平衡力为：

2
F = 4πR p 0 (13)
如果取无气泡时液体的初始势能为零，当半径为 a 的气泡在液体中形成的瞬间，液体的势能 E 等于
p
远场压力 p 与空穴体积 V 0 = 4πa /3 的乘积：
3
0
3
E p = 4πp 0 a /3 (14)
且势能 E 的大小与气泡的形状及其所处区域内压力的分布无关。
p

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