Page 60 - 《软件学报》2020年第12期

3726 Journal of Software 软件学报 Vol.31, No.12, December 2020

(1) 世代距离(GD) [30] 是一种评价所求近似 Pareto 解集和理想 Pareto 前沿间距离的方法,公式如下:
⎛ n p ⎞ 1/ p
⎜ i ⎟∑ d
GD ⎝ = i 1 ⎠ (6)
n
其中,n 表示所求近似 Pareto 解集向量个数.GD 的值越小,则说明解集收敛性越好.
*
(2) 反向世代距离指标(IGD) [31] 是计算标准 Pareto 前沿到个体的平均欧式距离.设解集 P 是一组真实
Pareto 前沿,解集 P 是一组近似解集,IGD 定义公式如下:
1
*
IGD (, P P = * ∑ min ( , ) y (7)
d x
)
| P | xP∈ * yP∈
*
其中,P 表示真实前沿,P 表示算法求得的近似 Pareto 解集,min d(x,y)为解 x 与解 y 之间的欧几里得距离.近似
*
Pareto 解集越逼近真实前沿,则所得的 IGD 值就越小,算法的性能也就越优.若 P 中参考点足够多且能够描绘出
完整 Pareto 前沿,那么 IGD 指标在衡量所获解集收敛性的同时,也可以衡量其多样性.
(3) 超体积指标(hyper volume,简称 HV) [32] 是一种能够在某种程度上同时衡量算法收敛性和多样性的综合
性评价指标,计算公式如下所示:
⎛ ⎞
HV (, )P r = volume⎜ ⎜ [ f r × 1, 1 ] ... [ f r ⎟ ∪ × mm ] ⎟ (8)
,
⎝ fP ⎠
∈
其中,P 表示近似解集:r 表示参考点,该参考点 r 被近似解集 P 中的所有个体支配.HV 值越大,表明算法所求解集
质量越高.
3.3 ASF-PICEA-g算法与其他算法的性能对比实验

表 1 表示 g-NSGA-II [13] ,r-NSGA-II [14] 和 ASF-PICEA-g 在 DTLZ 测试函数上所求解集的 GD 值和 IGD 值.
其中,数字加粗表示该算法 GD 值,即收敛性最优;数字加下划线表示 IGD 值最小,即综合性最优.目标个数分别
扩展至 3,5,7,10,15 和 20 维.
Table 1 GD index value and IGD index value on DTLZ test function
表 1 DTLZ 测试函数 GD 指标值和 IGD 指标值表
g-NSGA-II r-NSGA-II ASF-PICEA-g
测试函数 目标数 GD 指标 IGD 指标 GD 指标 IGD 指标 GD 指标 IGD 指标
3 6.34e+00 5.40e+00 1.82e+00 3.78e+00 2.37e+00 3.12e+00
5 9.15e+00 5.74e+00 1.14e+00 3.08e+00 2.43e+00 5.00e+00
7 5.96e+00 5.92e+00 1.46e+00 7.20e+00 3.07e+00 7.92e+00
DTLZ1
10 6.30e+00 7.36e+00 1.34e+00 8.46e+00 3.42e+00 1.04e+00
15 1.71e+01 2.70e+02 3.60e+02 2.78e+03 4.77e+00 1.21e+00
20 1.47e+01 2.30e+02 4.33e+02 3.91e+03 5.56e+00 4.34e+00
3 2.23e−02 3.82e−01 1.59e−03 4.69e−01 1.62e-03 5.69e−02
5 3.08e−02 7.42e−01 9.51e−03 6.41e−01 3.11e−03 2.34e−01
7 2.61e−02 5.54e−01 1.54e−02 6.17e−01 1.10e−02 3.77e−01
DTLZ2
10 3.77e−02 8.89e−01 2.38e-02 8.11e−01 1.24e−02 6.48e−01
15 0.12e−01 1.97e−01 1.49e+02 4.39e+02 3.13e−02 1.36e+00
20 2.70e+03 4.47e+04 9.94e+01 2.08e+02 3.15e−02 3.30e+00
3 5.30e+01 1.00e+02 4.82e+01 5.88e+01 3.03e+01 9.87e+01
5 3.02e+01 1.72e+02 1.35e+01 7.79e+01 2.17e+01 1.15e+02
7 2.30e+01 3.49e+02 1.72e+01 1.44e+02 2.12e+01 1.78e+02
DTLZ3
10 3.97e+01 7.85e+02 1.66e+01 1.40e+02 2.08e+01 1.81e+02
15 9.54e+01 1.56e+03 3.58e+02 3.60e+03 4.86e+01 3.42E+02
20 9.97e+01 1.64e+03 3.18e+02 3.22e+03 5.32e+01 6.56E+02
3 1.73e−02 3.87e−01 2.58e−03 4.04e−01 2.40e−03 7.45e−02
5 4.60e−03 1.66e−01 9.63e−03 4.24e−01 3.49e−03 2.53e−01
7 7.18e−02 3.3.7e−01 1.18e−02 4.30e−01 1.24e−02 5.15e−01
DTLZ4
10 8.31e−03 4.56e−02 1.57e−02 5.47e−01 9.05e−03 6.23e−01
15 2.34e+03 3.87e+04 2.75e+02 1.48e+03 3.60e−02 1.06e+01
20 2.70e+03 4.47e+04 3.17E+02 1.98E+03 3.10e−02 2.44e+01