Page 54 - 《真空与低温》2025年第4期

李子兀等：一种新型的超流氦二流体模型梯度项离散方法 469

网格体心的速度由式（7）和式（8）求得，将其代 入式（28）可以获得。其中， ρA由式（29）得。
( ) ( ) ( )
ρ n,i−1 t+∆t ρ n t+∆t ρ n,i+1 t+∆t ρ n t+∆t ρ s,i−1 t+∆t ρ s t+∆t
− ρ s s∇T + ∇p ·S f + ρ s s∇T + ∇p ·S f + ρ s s∇T − ∇p ·S f −
A t i−1 ρ i−1 A t i+1 ρ i+1 A t i−1 ρ i−1
n,i−1 n,i+1 s,i−1 （28）
( ) ( t+∆t t )
ρ s,i+1 t+∆t ρ s t+∆t 2 ρ −ρ V i
ρ s s∇T − ∇p ·S f = ρA·S f −
A t i+1 ρ i+1 ∆t
s,i+1
   
 ∑   ∑ 
ρ n,i−1   t t+∆t   ρ n,i+1   t t+∆t  

ρA =−   A v +S n,i−1 +   A v +S n,i+1 −



n,k n,k
n,k n,k
A t    A t   
n,i−1 k=i或i−2 n,i+1 k=i或i+2
    （29）
 ∑   ∑ 

ρ s,i−1  t t+∆t   ρ s,i+1   t t+∆t  

 A v +S s,i−1 +   A v +S s,i+1  


A t  s,k s,k  A t   s,k s,k 

s,i−1 k=i或i−2 s,i+1 k=i或i+2
当梯度项被定义在体心时，将式（26）代入式（29）， 可以得到式（31），对式（31）整理获得式（32）。
( t+∆t t+∆t t+∆t t+∆t ) ( t+∆t t+∆t t+∆t t+∆t )
ρ n,i−1 T i−2 −T i ρ n p i−2 − p i ρ n,i+1 T i −T i+2 ρ n p i − p i+2 ρ s,i−1
− ρ s s + S + ρ s s + S + ·
A t 2d ρ 2d A t 2d ρ 2d A t
n,i−1 n,i+1 s,i−1
( ) ( ) ( )
t
T t+∆t −T t+∆t ρ s p t+∆t − p t+∆t ρ s,i+1 T t+∆t −T t+∆t ρ s p t+∆t − p t+∆t 2 ρ t+∆t −ρ V i （30）
ρ s s i−2 i − i−2 i S − ρ s s i i+2 − i i+2 S = ρA·S f −
2d ρ 2d A t 2d ρ 2d ∆t
s,i+1
p
p
p
T
T
T
a T t+∆t +a T t+∆t +a T t+∆t +a p t+∆t +a p t+∆t +a p t+∆t = C （31）
i+2 i+2 i i i−2 i−2 i+2 i+2 i i i−2 i−2
| {z } | {z }
温度梯度项体心离散 压力梯度项体心离散
其中： Helium II in low-temperature and superconductive magnet
engineering[J]. Advances in Cryogenic Engineering，1978，23：
( )
a T i−2 = ρ s s ρ n,i−1 − ρ s,i−1 S （32）
2d A t n,i−1 A t s,i−1 358−362.
( )
[4] CLAUDET G，MARDION G B，JAGER B，et al. Design of
T
a = ρ s s ρ n,i+1 + ρ s,i+1 − ρ n,i−1 − ρ s,i−1 S （33）
i
2d A t A t A t A t the cryogenic system for the Tore Supra Tokamak[J]. Cryo-
n,i+1 s,i+1 n,i−1 s,i−1
( ) genics，1986，26（8）：443−449.
ρ s s ρ n,i+1 ρ s,i+1
T
a i+2 = − + S （34）
2d A t A t [5] PAMELA J. Ten years of operation and developments on
n,i+1 s,i+1
( ) Tore Supra[J]. Fusion Engineering and Design，1999，46（2）：
a p = − 1 ρ n,i ρ n,i−1 + ρ s,i ρ s,i−1 S （35）
i−2 t t 313−322.
2d ρ i A ρ i A
n,i−1 s,i−1
( ) ( ) [6] TOROSSIAN A. TF-coil system and experimental results of
p
a = ρ n,i ρ n,i+1 + ρ n,i−1 S + ρ s,i ρ s,i+1 + ρ s,i−1 S
i t t t t Tore Supra[J]. Fusion Engineering and Design， 1993， 20：
2dρ i A A 2dρ i A A
n,i+1 n,i−1 s,i+1 s,i−1
（36） 43−53.
( ) [7] KALININ V， TADA E， MILLET F， et al. ITER cryogenic
a p = − 1 ρ n,i ρ n,i+1 + ρ s,i ρ s,i+1 S （37） system[J]. Fusion Engineering and Design， 2006， 81（23）：
i+2 t t
2d ρ i A ρ i A
n,i+1 s,i+1
(
)
2 ρ t+∆t −ρ V i 2589−2595.
t
C = ρA·S f − （38） [8] SARKAR B，TANK J，PANCHAL P，et al. Cryogenic sys-
∆t
tem of steady state superconducting Tokamak SST-1：Opera-
参考文献：
tional experience and controls[J]. Fusion Engineering and De-

[1] MILLER J R，SCIVER S W V，SCHNEIDER-MUNTAU H J. sign，2006，81（23）：2633−2641.
An overview and status of the NHMFL 45-T hybrid project[J]. [9] DARWESCHSAD M，FINK S，FRIESINGER G，et al. Test
Journal of Cryogenics and Superconductivity Society of Ja- of the EURATOM LCT coil （NbTi conductor） with forced
pan，1996，31（5）：240−249. flow He II cooling[J]. Fusion Engineering and Design，1999，
[2] BRUCE R，REYNAUD J，PASCALI S，et al. 3D CFD Tran- 45（4）：361−375.
sient numerical simulation of superfluid helium[J]. Advances [10] ZHANG Q，LIU Z，LU X，et al. Progress of engineering de-
in Cryogenic Engineering，2017，278：012057. sign of CFETR cryogenic system[J]. Fusion Engineering and
[3] BON MARDION G，CLAUDET G，SEYFERT P，VERDIER J. Design，2022，177：113064.