Page 51 - 《真空与低温》2025年第4期

466 真空与低温 第 31 卷 第 4 期

场是不满足连续性方程的，因此在求得压力场后， 样的，为了抑制数值震荡，在进行速度场重构时，对
需要对速度场进行重构，使其满足连续性方程。同 梯度项仍然选择从网格面上重构到网格中心：
   
 ( ) 
1 ∑ ∑ t  1   t+∆t ρ n 


 1 
v


∗ 

∗
∗∗
v =  t    A n,Nb n,Nb +S n, f − t  (ρ s s) ∇ f T f + ∇ f p  ·S f （21）




f
n,i
f 


S total  A   A ρ 
f n,f Nb(f) n,f f
   
 ( ) 
1 ∑ ∑    1   ρ s 

 1 


∗∗
v =   A t v ∗ +S s,f + (ρ s s) ∇ f T t+∆t − ∗  （22）




s,i  t   s,Nb s,Nb  t  f f ρ ∇ f p  ·S f
f 
 A


S total A 
f s,f Nb(f) s,f f
Aρ n 2
式中：S tota 为网格所有面的面积总和。 ∇T = |q| q （23）
l
4
ρ s s T 3
（6）迭代循环判断。由式（21）和式（22）求得的 q
*
速度 v 和 v 与压力 p 并不严格满足动量方程的。 v n = ρsT （24）
∗∗
∗∗
s,P
n,P
因此需要返回到步骤（3）对速度场和压力场迭代求 式中： v n为通过通道截面的平均速度。通过将数值
解若干次。在满足实际问题所要求的残差或者到 模拟结果与式（23）和式（24）的计算结果进行对比，
达最大循环次数后，将会跳出循环，此时得到的速 可以验证数值模拟结果的准确性。不同热流密度
度场和压力场即为“ t +∆t”时间步的物理场，并开 条件下使用面梯度离散方法数值模拟得到的结果
始下一个时间步的求解。 如图 5 所示。

2 面梯度离散方法的求解与效果对比 1.8 K
q 超流氦池
He II 的热对流现象是指当其内部存在温度梯 Y v s : 滑移边界
度时，超流体组分沿梯度方向流动，而常流体组分 v n : 无滑移边界
X
则沿反方向流动。He II 这一独特的物理现象引起
了研究人员的广泛兴趣，这也是对 He II 研究最活 图 4 数值模拟结构示意图
Fig. 4 Schematic diagram of the structure of
跃的领域之一。通过一系列研究，研究人员得出
the numerical simulation
了 He II 热对流在二维平板通道中的温度场和常流
体速度场的解析解公式，这些公式计算结果与实验 图 5（a）表示由式（23）计算得到加热后的通道
数据高度吻合 [19，23-24] 。因此，在本节中，作者以 He II 内的最大温升与数值模拟的结果的对比；图 5（b）
的热对流现象为研究对象，对热机效应项的面梯度 表示由式（24）计算得到的平均速度与数值模拟的
离散方法的准确性和有效性进行展示。 结果的对比。二者的具体的数值如表 1 和表 2 所

2.1 求解模型及数值模拟的设定 列。通过比较，可以发现使用面梯度离散方法求解
在本文中，在 OpenFOAM 平台对宽度为 1 mm、 得到的结果与解析解相比较，在温度场上相差不超
®
长度为 15 mm 的充满 He II 的二维平板通道进行了求 过 1%，速度场相差不超过 3%，并且其拥有同样的
解，其几何结构如图 4 所示。整个通道初始温度设 变化趋势。通过这些比较可以说明本文提出算法
定为 1.8 K。该通道一端封闭有热流进入，另一端 的计算准确性。

与 1.8 K 超流氦池相连。每个网格的尺寸为>75 μm× 2.3 离散算法有效性验证
50 μm。在二流体模型中，超流体被认为是无黏流体， 如图 6 所示，作者以常流体速度为例，展示面
而常流体为黏性流体。因此，在壁面上，超流体速 梯度离散方法在抑制数值震荡方面的效果。从图 6
度被设置为滑移边界，常流体速度被设置为无滑移 中的计算结果可以发现，当对热机效应项使用体
边界。除此之外，求解器过程中使用 OpenFOAM ® 心梯度离散方法时，获得的数值模拟结果会产生
自带的功能来自动调整计算过程中的时间步长，同 明显的锯齿状数值震荡。而使用面梯度离散方法
时限定了时间步长的最大值为 1×10 s。 能够有效抑制这种震荡，图中可见，应用面梯度离
−6

2.2 离散算法准确性验证 散方法后，计算结果由原来的震荡变为平滑的曲线。
在对 He II 的热对流现象的不断研究中，研究 需要说明的是，单纯地将网格细化是无法消除
人员发现当上下平板绝热时，He II 温度场和常流 由体心梯度离散导致的数值震荡。如图 7 所示，当把
[19]
体的速度场满足下述的关系 ： 网格数目增加一倍，使用体心梯度离散方法对方程