Page 261 - 《振动工程学报》2026年第5期

第 5 期 刘恩彩，等：双稳态周期结构带隙调制 1465

键参数对系统等效刚度的核心调制机理，并为后续 起始频率随预压缩量的变化，如图 6（b）所示，随着预
的数值与试验研究提供理论基准。 压缩量 d 的施加，带隙起始频率从初始状态的 207 Hz
通过调节机械预压缩量 d，可以改变系统的等效 被连续地调谐至接近 0 的极低频。带隙起始频率的
刚度 k 等 效 ，从而实现刚度的可调谐性。当 k 等 (d)=0 变化趋势与等效刚度的变化趋势完全一致，随着预
效
时，系统表现出“零刚度”特性，此时的预压缩量 d 约 压缩量的增加而单调降低。这表明，本文所设计的双
为 2.25 mm。 稳态周期结构，具备在极其宽的频率范围内（0~207 Hz）
对于一个由质量块 m 和非线性弹簧 k 组成的周 进行连续、精确带隙调谐的巨大潜力。

期系统（如图 5 所示，图中 a 为晶格常数），根据周期 k=k 0 +3k n (u 稳 −d) 2 k=|k 0 +3k n (u 稳 −d) | 2
4
结构的 Bloch 定理，Bloch 波矢 q=0 对应于周期结构 2.0 ×10
中所有元胞同相振动的模式，这代表了弹性波的长 1.5
波极限。该同相振动模式的固有频率构成了色散曲 1.0
线中声学支的截止频率。高于此频率的波无法在结 k 等效 / (N·m −1 ) 0.5
构 中 以 该 模 式 传 播， 从 而 进 入 第 1 个 带 隙 。 因 此 ， 0
q=0 点定义的频率，在物理上是该周期系统的带隙起 −0.5
始频率。 −1.0
0 1 2 d / mm 3 4 5

a (a) 等效刚度随预压缩量d的变化情况
… m m m m … (a) Variation of the equivalent stiffness with the pre-compression d
k k k k

图 5 非线性弹簧-质量系统 200
Fig. 5 The nonlinear spring-mass system 150
f 起始 / Hz
当 Bloch 波矢 q = 0 时，带隙起始位置频率为： 100
√
1 k 等效 50
f 起始 = （9）
π m
具体求解过程见附录 A。 0 0 1 2 3 4 5
综上所述，式（6）~（9）的推导过程表明：通过施 d / mm
(b) 带隙起始频率随预压缩量d的变化情况
加可控的预压缩量 d，可以改变双稳态单元的静态平 (b) Variation of the bandgap starting frequency
with pre-compression d
衡点 u 新 ，从而调制系统在该点附近的等效刚度 k 等 (d)，
效
进而实现对带隙位置的调谐。此外，当等效刚度 k 等 (d) 图 6 等效刚度与带隙起始频率的理论预测
效
Fig. 6 Theoretical prediction of the equivalent stiffness and the
趋近于零时，带隙被调谐至极低频率，可实现超低频
bandgap starting frequency
振动控制。
需要指出的是，当等效刚度 k 等 (d) 趋近于零时，
效
2.2 数值仿真验证
系统处于静态失稳的临界点，任何微小的扰动都将
导致结构跃迁至其稳定构型。 为在更接近实际工况的条件下对理论模型的预

测能力进行验证，并探究有限尺寸效应等实际因素
2 结 果 分 析 与 验 证 的影响，本节开展了数值仿真研究。基于式（1）所描
述的动力学方程，在 环境中构建
MATLAB/Simulink
2.1 基于理论模型的带隙调谐预测 了一个包含 10 个周期单元的有限周期结构非线性
动力学模型。在该模型中，所有物理参数（k 0 ，k n ，m，c）
基于第 1 节建立的理论框架，对带隙起始频率
均采用前文试验拟合或设定的数值。为确保数值仿
随预压缩量 d 的变化规律进行定量预测。
真结果与无阻尼理论解析结果可直接对比，并将分
图 6（a）为根据式（8）计算得到的系统等效刚度
析聚焦于刚度调谐对带隙位置的主导效应，本研究
与预压缩量 d 之间的函数关系。从图中可以看出，
在数值模型中设定黏滞阻尼系数 c=0。Simulink 模型
当预压缩量 d 从 0（初始状态）增加到约 2.25 mm（临
和仿真细节见附录 B。
界状态）时，等效刚度从其最大值（约 17000 N/m），平
滑且单调地递减至接近于 0。这种刚度的连续可调 通过对首个振子施加扫频激励，并计算系统末
端与激励端的响应速度比值，得到系统的传递率 T n ：
性是双稳态系统的一个显著优点。
将图 6（a）中的等效刚度代入式（9），可得到带隙 T n = v n /v 0 （10）