Page 266 - 《振动工程学报》2026年第5期

1470 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

写成矩阵形式为： 附录 B：数值仿真模型与分析
[ ]  [ ]   
m 0  ¨x 1  k −k  x 1   f 1  本研究中的数值仿真基于 MATLAB/Simulink 平
 
 
 
  +     （A3）
 
  =  
0 0   −k k     台，通过对所建立的离散弹簧-质量链系统的运动微
¨ x 2
x 2
f 2
令位移向量 x = [x 1 x 2 ] ，力向量 f = f 1 f 2 ，则有： 分方程（式 (1)）进行直接数值求解来实现。
] T
[
T
M ¨ x+ Kx = f （A4） 数 值 仿 真 模 型 的 整 体 架 构 如图 B1 所 示 ， 它 由
其中， 10 个代表振子单元的子模块串联而成。首个单元接
[ ] [ ]
m 0 k −k 收外部扫频激励信号，信号在链式结构中逐级传递。
M = ，K = （A5）
0 0 −k k
在每个子模块内部，根据牛顿第二定律（式 (1)），
考虑周期系统的简谐振动：
通过编程模块计算出相邻单元的相对位移，并代入
iωt
f = Fe ，x = Xe iωt （A6） 试验标定的刚度系数 k 0 和 k n ，从而得到作用于该振
展开为：
[ ] [ ] [ ] [ ] 子的非线性恢复力。将这些力作为输入，送入积分
f 1 (t) F 1 iωt x 1 (t) X 1 iωt
= e ， = e （A7） 器 模 块， 实 时 求 解 出 该 振 子 的 加 速 度 、 速 度 和 位
f 2 (t) F 2 x 2 (t) X 2
移。在模型首端施加扫频正弦激励信号，通过对末
将式 (A7) 代入式 (A4)，可得：
端振子与首端振子的速度响应进行快速傅里叶变换
2
(K −ω M)X = F （A8）
（FFT）并求比值，最终得到系统的传递率曲线。
由周期结构 Bloch 定理可知，元胞的边界位移和

边界力的关系为：
X 2 = e −iqa X 1 ，F 2 = −e −iqa F 1 （A9） (a) 10单元总体模型
式 (A9) 可写为： (a) Overall model with 10 unit cells
（A10）
X = A(q)· X 1 ，F = B(q)· F 1
其中，
[ ] [ ]
1 1
A(q) = ，B(q) = （A11）
e −iqa −e −iqa
将式 (A10) 代入式 (A8)，可得：
n
2 （A12）
KAX 1 −ω MAX 1 = BF 1
H
在式 (A12) 的两端左乘 A 的复共轭转置矩阵 A ，
则有：
iqa
2
(2k −ke −ke −iqa −mω )X 1 = 0 （A13）
由此可得：
n
√
iqa
2k −ke −ke −iqa
ω = （A14）
m
于是，每给定一个 Bloch 波矢 q 取值（实数，限定
在不可约布里渊区内），q=0 时，由式 (A14) 可求得带
(b) 子模块内部结构
隙的起始频率为： (b) Internal structure of a submodule

√ √
ω 1 2k −ke −ke −iqa 1 k 图 B1 Simulink 仿真模型示意图
iqa
f = = = （A15）
2π 2π m π m Fig. B1 Schematic diagram of the Simulink simulation model