Page 265 - 《振动工程学报》2026年第5期

第 5 期 刘恩彩，等：双稳态周期结构带隙调制 1469

Crystals，2025，15（5）：412. 305-313.
[12] MONTGOMERY S M，WU S，KUANG X，et al. Magneto- WANG Yong， LI Shunming， CHENG Chun， et al.
mechanical metamaterials with widely tunable mechanical Dynamic analysis of a quasi-zero-stiffness vibration isolator
properties and acoustic bandgaps[J]. Advanced Functional with cubic velocity feedback control[J]. Journal of Vibration
Materials，2021，31（3）：2005319. Engineering，2016，29（2）：305-313.
[13] BARNWELL E G， PARNELL W J， ABRAHAMS I D. [24] XU K F，NIU M Q，ZHANG Y W，et al. An active high-
Tunable elastodynamic band gaps[J]. Extreme Mechanics static-low-dynamic-stiffness vibration isolator with adjustable
Letters，2017，12：23-29. buckling beams： theory and experiment[J]. Applied Mathe-
[14] LIU Y J，HAN C Y，LIU D Y. Broadband vibration suppres- matics and Mechanics（ English Edition） ， 2024， 45（ 3） ：
sion of graded/disorder piezoelectric metamaterials[J]. 425-440.
Mechanics of Advanced Materials and Structures， 2023，
30（4）：710-723. 通信作者：刘恩彩（1990—），女，博士，讲师。
[15] 左昂，陈宁，姜鹏飞，等. 一维磁弹簧振子周期结构的局 E-mail：798829242@qq.com
域共振带隙研究 [J/OL]. 工程力学，1-16[2025-11-04]. https://
link.cnki.net/urlid/11.2595.O3.20250815.1646.004. 附录 A： 带隙起始位置频率推导
ZUO Ang， CHEN Ning， JIANG Pengfei， et al. Study on 根据周期结构的 Bloch 定理，弹性波在无限长周
the local resonance bandgap of one-dimension-al magnetic
期结构中传播时，其解的形式为 u(x+a) = u(x)e ，其
iqa
spring oscillator periodic structure[J/OL]. Engineering
中 q 为 Bloch 波矢，a 为晶格常数。波矢 q 描述了波
Mechanics， 1-16[2025-11-04]. https://link.cnki.net/urlid/11.
在穿过一个元胞后产生的空间相位变化，其取值范
2595.O3.20250815.1646.004.
围通常被限定在第一布里渊区内。
[16] EMAM S，LACARBONARA W. A review on buckling and
带隙的起始与截止频率通常出现在布里渊区的
postbuckling of thin elastic beams[J]. European Journal of
中心（q=0）或边界（q=π/a）。对于本文所研究的弹簧-
Mechanics-A/Solids，2022，92：104449.
iqa
质量链系统，q=0 位置的物理意义为：此时 e =1，相
[17] REN L L， ZHANG W， ZHANG Y F. Dynamic Snap-
邻元胞的运动状态完全相同，即所有元胞以相同的
Through and nonlinear vibrations of bistable asymmetric
相位进行振动。这种集体性的同相振动模式是周期
Cross-Ply composite laminated cantilever shell under external
excitation[J]. Mechanical Systems and Signal Processing， 系统最基础的振动模式，其对应的频率 ω(q=0) 是系
2023，195：110193. 统能够传播弹性波的下限（若不考虑刚体平动，则为
[18] 邵栋，陆泽琦，陈立群. 非线性刚度非线性阻尼隔振系统 声学支的截止频率）。当外部激励的频率高于这个
功率流研究 [J]. 振动工程学报，2017，30（5）：764-773. 临界值时，该同相振动模式将无法维持，波的传播受
SHAO Dong，LU Zeqi，CHEN Liqun. Power flow character- 到抑制，从而形成了第 1 个带隙。因此，通过求解
istics of a two-stage nonlinear vibration isolation system[J]. q=0 时的系统特征频率，即可确定带隙的起始位置。
Journal of Vibration Engineering，2017，30（5）：764-773. 取如图 A1 所示的单个元胞进行动力学建模，设
[19] WANG P， CASADEI F， SHAN S C， et al. Harnessing
x 1 和 x 2 分别为元胞中质量块 m 和弹簧右端的位移
buckling to design tunable locally resonant acoustic metamate-
（与右端相邻元胞中的质量块的位移相同），f 1 为左
rials[J]. Physical Review Letters，2014，113（1）：014301.
边元胞对其的作用力，f 2 为右端元胞对其的作用力。
[20] SHAN S C，KANG S H，RANEY J R， et al. Multistable

architected materials for trapping elastic strain energy[J]. k
m
Advanced Materials，2015，27（29）：4296-4301.
x 1 x 2
[21] 张旭辉，赖正鹏，吴中华，等. 新型双稳态压电振动俘能
f 1 f 2
系统的理论建模与实验研究 [J]. 振动工程学报，2019，
图 A1 非线性弹簧-质量系统单胞
32（1）：87-96.
Fig. A1 The unit cell of the nonlinear spring-mass system
ZHANG Xuhui， LAI Zhengpeng， WU Zhonghua， et al.
Theoretical modeling and experimental study of a new bistable 根据动力学平衡关系，图 A1 所示的单个周期元
piezoelectric vibration energy harvesting system[J]. Journal of 胞的运动方程为：
Vibration Engineering，2019，32（1）：87-96. 

m¨x 1 = k(x 2 − x 1 )+ f 1

[22] NADKARNI N，ARRIETA A F，CHONG C，et al. Unidi-  （A1）

 0 = −k(x 2 − x 1 )+ f 2
rectional transition waves in bistable lattices[J]. Physical
整理可得：
Review Letters，2016，116（24）：244501. 

m¨x 1 +kx 1 −kx 2 = f 1
[23] 王勇，李舜酩，程春，等. 立方速度反馈控制的准零刚度  （A2）


隔振器动力学特性分析 [J]. 振动工程学报，2016，29（2）：
 −kx 1 +kx 2 = f 2