Page 260 - 《振动工程学报》2026年第5期

1464 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

动时将稳定地处于其中一个势阱所代表的构型。位 当施加一个较小的预压缩量时（d=0.5 mm，图中红色
于两势阱之间的局部极大值点（图中绿色的点）为势 曲线），系统对称性被破坏，预压缩力如同一个外加
垒，对应系统的一个不稳定平衡点，其物理构型为双 的“偏置场”，使得整体能量景貌发生倾斜，原有的
稳态屈曲梁的几何中心（未屈曲）位置。系统需要吸 右侧势阱变浅并被抬升，而左侧势阱则相应加深；随
收足够的外部能量才能“翻越”这个势垒，实现从一 着预压缩量增加至 d=1.5 mm 时（图中绿色曲线），这
个稳定态到另一个稳定态的“突弹跳变”。 种 不 对 称 性 愈 发 显 著； 当 预 压 缩 量 达 到 临 界 值 时

0.04 （d=2.25 mm，图中品红色曲线），右侧的势阱与相邻

0.02 的势垒合并后消失，系统的势能函数从“W”形转变
不稳定平衡点 为单调的“U”形，系统从双稳态转变为单稳态。
0 (势垒)
U / J −0.02 双稳态至单稳态的拓扑演化过程表明，施加静
−0.04 稳定平衡点 态机械预压缩为主动、连续地调制系统能量景貌提
(势阱)
供了一种有效途径。根据势能理论，系统在平衡点
−0.06 稳定平衡点
(势阱) 处的等效刚度由势能函数在该点的二阶导数（即曲
−0.08
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 率）决定。因此，对能量景貌的调制等效于对系统等
u / mm
效刚度的连续调控。周期结构的带隙特性最终取决

图 3 双稳态系统势能曲线（预压缩量 d=0）
于其单元的等效刚度，这种基于预压缩的刚度调控
Fig. 3 Potential energy curve of the bistable system (d=0)
便构成了实现带隙可调谐性的核心物理机制。

当对系统施加一个静态的预压缩量 d 时，双稳
态系统的总势能由两部分组成：一部分是双稳态系 1.4 可调谐刚度与带隙理论
统固有的、产生“W”形能量景貌的势能 U 固 (u)（即式
对于一个在稳定平衡点附近进行小幅振动的系
（2）中的 U(u)）；另一部分是维持特定预压缩量所施
统，其动力学行为可近似为一个线性系统，其固有频
加的外部恒定力所对应的势能，其计算公式为：
率由该平衡点处的等效线性刚度决定。根据动力学
U 外 (u) = −F 外 ·u （3）
理论，这个等效刚度等于势能函数在该平衡点处的
式中，外力 F 外 的大小等于在新平衡点 u 新 处弹簧的恢
曲率（二阶导数），将其定义为：
复力：
2
d U d 3 2
F 外 = k 0 u 新 +k n u 3 （4） k 等效 (u) = = (k 0 u+k n u ) = k 0 +3k n u （6）
新 du 2 du
被压缩后，系统的总势能为： 该等效刚度表征了系统在平衡点附近的恢复特
1 2 1 4
U 总 (u) =U 固 (u)+U 外 (u) = ( k 0 u + k n u )− 性，其正值是系统能够进行稳定振动的先决条件。
2 4
3
(k 0 u 新 +k n u )u （5） 初始状态下（d=0）的系统，稳定平衡点位于 u 稳定 =
新 √
不同预压缩量下，双稳态系统的势能变化情况 ± −k 0 /k n ，代入式（6），可得系统的初始等效刚度为：
 √ 2
如图 4 所示。为使所有曲线都有一个共同的参考基   k 0  

 ± −  =
k 初始，等效 =k 等效 (u 稳定 ) = k 0 +3k n  
准，方便清晰地比较势阱形状的变化，将每条曲线的 k n
( )
最低点都平移到了 U=0 位置。 k 0 +3k n − k 0 = −2k 0 （7）
k n

0.40 预压缩量d=0 mm 由于 k 0 为负值，初始等效刚度必然为正，表明系
0.35 预压缩量d=0.50 mm 统在该平衡点处于稳定状态。
预压缩量d=1.50 mm
0.30
相对总势能 / J 0.25 预压缩量d=2.25 mm 动中心将从初始稳定点 u 稳定 移动到一个新的平衡位
时，系统的振
当对屈曲梁施加一个预压缩量
d
0.20
0.15
u 新 =u 稳定 −d（此处假设从正向稳定点向中心压缩）。
置
0.10
0.05 系 统 在 该 新 平 衡 点 附 近 的 等 效 刚 度 即 为 式（ 6） 在
0 u=u 新 处的值：
−5 0 5 ( ) 2
绝对位移u / mm k 等效 (d) =k 等效 (u 新 ) = k 0 +3k n u 稳定 −d =

( √ ) 2
图 4 不同预压缩量下双稳态系统势能的变化情况 k 0 +3k n −k 0 /k n −d （8）
Fig. 4 The change of potential energy of bistable system under 需要指出，上述等效刚度是在小幅振动假设下，
different pre-compression
通过对系统动力学进行线性化处理而得到的。该线
在未施加外部压缩的初始状态下（d=0，图中蓝 性化模型预测的带隙起始频率不依赖于振动幅值。
色曲线），系统的势能函数呈现对称的双阱势状态； 该模型的意义在于，能清晰地揭示预压缩量作为关