Page 259 - 《振动工程学报》2026年第5期

第 5 期 刘恩彩，等：双稳态周期结构带隙调制 1463

k k k k 将屈曲梁的几何中心设定为位移坐标的原点，
并对 3 次独立试验的数据进行处理。如图 2 虚线所
激励
m m … m … m
示，由于 TPU 材料的固有特性及微小的黏弹性效应，
单次试验曲线存在差异，但所有试验均展现了包含
c c c c
(a) 双稳态周期结构物理模型 显著负刚度区域的力-位移曲线，表明系统的核心非
(a) Physical model of the bistable periodic structure
线性行为具有可重复性。
x 1 x 2 x n x 10 对于双稳态系统，其恢复力-位移曲线呈现特有
k k k k
激励
m m … m … m 的“N”形，包含一个负斜率区域。能够描述此特征
c c c c
1 2 n 10 的最简单的多项式是三阶多项式。选择三阶多项式
(b) 双稳态周期结构等效离散模型 F(u) = k 0 u + k n u ，不仅因为其数学形式简洁，更关键
3
(b) Equivalent discrete model of the bistable periodic structure
的是该模型能够揭示对称双稳态系统的内在物理机
Δ
k(x n−x n−1)=k 0(x n−x n−1)+k n(x n−x n−1) 3 x n 理。其中，线性项 的系数 k 0 为负值，表征系统在
中心 k 0 u
平衡位置 t
x n−1 h 中心不稳定平衡位置（u=0）附近的负刚度。这是结
m m
稳态 l 构发生屈曲、产生双稳态行为的根源。三次非线性
c(ẋ n −ẋ n−1 ) 平衡位置 b
x n
3
项 k n u 的系数 k n 为正值，表征系统在大位移下的“硬
(c) 单元模型 (d) 双稳态屈曲梁单元几何结构
(c) The unit cell model (d) Geometry of a bistable 化”特性。该项的存在使得恢复力在偏离中心后能
buckled beam element
Δ 够重新增长，从而在能量景貌上形成 2 个稳定的势
阱，保证了系统的稳定性。这种力-位移关系是典型
d
的 Duffing 振子模型，被广泛用于描述此类非线性振
动系统。因此，采用三阶多项式拟合不仅能够精确
(e) 双稳态屈曲梁预压缩示意图 匹配试验数据，还能使提取出的模型参数 k 0 和 k n 具
(e) Schematic diagram of the pre-compressed bistable buckled beam

有明确的物理意义，为后续的理论分析奠定了基础。
图 1 双稳态结构
为了获取具有统计意义且能代表样品普适特性
Fig. 1 The bistable structure
的等效参数，对 3 次试验数据取平均后，再利用三阶
3
ν=0.385, 密度 ρ=916.7 kg/m ）为原料，制备了与图 1 (d)
多项式进行拟合，得到图 2 中黑色实线所示的拟合
几何尺寸一致的双稳态屈曲梁单胞。
曲线。这种处理方式旨在捕捉数据的主要趋势，有
将双稳态屈曲梁单胞样品放置在万能试验机
效避免了拟合单次试验噪声导致的“过拟合”风险。
上，以极低的加载速率进行准静态压缩试验，以消除
拟合得到的表达式为 F(u)=−8500u+3×10 u 。由此可
8 3
动态效应的影响。图 2 为试验测得的典型力-位移曲
精 确 地 标 定 出 模 型 的 关 键 参 数： 负 刚 度 系 数 k 0 =
线（虚线）以及拟合结果（实线）。考虑到双稳态系统
−8500 N/m，立方刚度系数 k n =3×10 N/m 。这些参数
8
3
理论上的对称性，从任一稳定平衡点到中心不稳定
将用于后续的理论分析与仿真，其稳定性和有效性
点之间的力-位移关系包含了确定其非线性刚度系
将在后文的动态振动试验中得到进一步验证。
数所需的全部信息。同时，为了规避在试验中越过
力峰值点后负刚度效应引发的“突弹跳变”不稳定 1.3 基于能量景貌理论的稳态特性分析
性，仅截取了从初始平衡点到力峰值点的稳定加载
为从能量学的角度阐明双稳态系统的非线性动
段数据用于分析。
力学行为，引入其势能函数（也称能量景貌）。将非
20

线性的恢复力函数沿位移路径积分，即可得到双稳
15 态系统的势能函数 U(u)：
w w 1 1
2
3
U(u)= −F(u)du= (k 0 u+k n u )du= k 0 u + k n u 4 （2）
F / N 10 试验1 2 4
试验2 将 1.2 节拟合的刚度参数代入，得到双稳态系统
5 试验3
拟合曲线 的能量景貌，如图 3 所示。在初始构型（预压缩量
d=0）下，系统的势能函数呈现出典型的双阱势特征，
0
−5 −4 −3 −2 −1 0
u / mm 其图像为“W”形曲线。能量景貌中的 2 个对称的局

部极小值点（图中红色点）为 2 个势阱，代表系统的
图 2 单胞准静态压缩试验与参数拟合
Fig. 2 Quasi-static compression test for the unit cell and 2 个稳定平衡点，对应于屈曲梁向上或向下拱曲的
parameter fitting 2 种稳定构型，依据最小势能原理，系统在无外部扰