Page 177 - 《振动工程学报》2026年第5期

第 5 期 高晓建，等：基于滑动包络中值的趋势项提取及其在位移反演中的应用 1381

0 −3 0 −3 0
−3
位移 / mm −6 理论值 位移 / mm −6 理论值 位移 / mm −6 理论值
−9
−9
−9
−12 工况1 工况2 −12 工况3 工况4 −12 工况5 工况6
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
时间 / s 时间 / s 时间 / s

图 1 积分公式与积分初值对趋势项的影响
Fig. 1 The influence of integration formulas and initial values on trend terms

0.1 0.1
0
位移 / mm −0.3 理论值 位移 / mm −0.1 0 理论值 位移 / mm −0.1 0 理论值
−0.6
工况7 工况8 −0.2 工况9 工况10 −0.2 工况11 工况12
−0.3 −0.3
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
时间 / s 时间 / s 时间 / s

图 2 采样频率对趋势项的影响
Fig. 2 The influence of sampling frequency on trend terms

0.2 0.2

0.2
位移 / mm 0 位移 / mm 0 位移 / mm 0
理论值
−0.2
工况17
工况15
工况13 工况14 −0.2 理论值 工况16 −0.2 理论值 工况18
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
时间 / s 时间 / s 时间 / s

图 3 白噪声对趋势项的影响
Fig. 3 The influence of white noise on trend terms
公式，表明不同积分方法的计算误差不同，从而导致 此外，信号本身的频率特性与采样频率的关系
趋势项偏移程度也不同。 也会影响计算误差。下文采用采基比（采样频率与
由图 2 和表 1 可知，在满足 Nyquist 采样定理的 信号基频的比值，用 RSF 表示）进行探讨。考虑实际
条件下，过小的采样频率也将产生明显的趋势项。 工况中，信号通常包含不止一种频率成分，且基频成
随着采样频率的提高，趋势项的平均斜率逐渐下降， 分的能量远大于其他频率成分（这里的基频并不一
表明采样频率或采样时间间隔会显著影响计算误 定是最低阶频率，而是信号中能量最大的频率），设
差，进而影响趋势项的偏移程度。 计包含 1 种或 3 种频率成分的叠加简谐信号作为模
由图 3 和表 1 可知，在噪/信比值较小时，不会产 拟位移，表达式如下：
生明显的趋势项，表明时域积分方法对白噪声有一 M ∑
x(t) = A i sin(2πf i t) （5）
定的鲁棒性。然而，随着噪/信比值的增加，趋势项 i=1
愈加明显，表明测量误差过高会导致趋势项的产生。 式 中， M 表 示 简 谐 信 号 的 成 分 数 ， 本 研 究 分 别 以
综上分析，导致时域积分产生趋势项的原因主 M=1 为单频信号，M=3 为多频信号；A i 表示第 i 种信
要包括积分初值未知、积分方法与采样频率偏低导 号成分的幅值系数；f i 表示第 i 种信号成分的频率。
致的计算误差以及传感器测量误差。可以选择较高 通过对时间二次求导，得到相应的速度和加速度解
阶的积分公式来减小计算误差，但阶数的提高对误 析表达式。采样频率设置为 1000 Hz，每种信号成分
差的改善效果并不明显，且过高的阶数易导致过拟 频率的变化规则为：
合现象，适得其反。因此，建议采用前三阶时域积分 f i = N η 1 η 2 ；η 2 = 1000,999,··· ,1,0 （6）
i
公式进行计算，本文主要基于矩形积分公式进行研 式中，N i 表示第 i 种信号成分频率变化的底数；η 1 =0.002。
究。理论上，采样频率越高越有利于计算误差的减 设置多种工况，其中单频与多频信号的基频相
小。在实际应用中，传感器的性能及工程成本将制 同，底数 N 1 均取为 10，则 RSF 变化范围为 10~1000。
约采样频率的提升，且采样频率过高也可能产生传 每种工况下，不同信号成分频率的变化底数 N i 和幅
感器测量误差增大的现象 [23] 。因此，宜综合考虑计 值系数 A i 如表 2 所示，RSF 与趋势项斜率的对应关
算误差、传感器性能及计算成本来设置采样频率。 系如图 4 所示。