Page 176 - 《振动工程学报》2026年第5期

1380 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

不会随时间累积增大。范围与积分方法、传感器硬
1 趋 势 项 产 生 原 因 分 析 件性能等因素有关。

1.2 算例验证
1.1 理论分析
为进一步验证时域积分导致趋势项产生的原
已有研究表明 [16,18] ，频域积分适用于低频误差较
因，本文选择一个有明确数学表达式的标准单频率
小的情况。当低频信息不可舍弃时，选择时域积分
简谐信号作为模拟位移，其表达式为：sin(2πft)。通过
反演响应更为有效。以常用的矩形时域积分公式为
二次求导，得到对应的速度和加速度信号的解析表
例，对加速度响应进行二次积分，反演出任意 i 时刻
2
达 式， 分 别 为 2πfcos(2πft) 及 −4π fsin(2πft)， 信 号 基 频
位移的计算公式为：
f 取为 2 Hz。
i−1
∑
v i = v 0 + a j ∆t；i = 1,··· ,n−1 （1） 通过设置不同工况对趋势项产生的原因进行探
j=0 究。以趋势项平均斜率为评价指标，该指标越小表

x 1 = x 0 +v 0 ∆t 明反演位移的精度越高，具体工况条件设置情况及



 i−1 l−1

∑∑ （2）
 2 积分结果见表 1 及图 1~3。工况 1~6 考虑了 3 种积分
x i = x 0 +v 0 i∆t + a j ∆t ；i = 2,··· ,n−1




l=1 j=0 方法和积分初值是否已知（即是否校正）的情况，用
式中，v i 和 x i 分别表示 i 时刻的速度和位移；a j 表示 于分析积分方法与积分初值未知对精度的影响；工
j 时刻的测量加速度值；v 0 和 x 0 分别表示速度和位移 况 7~12 设置了不同的采样频率，用于分析采样频率
初值；∆t 为采样时间间隔。实际应用中 v 0 和 x 0 是未 的影响；工况 13~18 在加速度数据中添加不同噪/信
知且不为零的。因此，当假设积分初值为 0 时，通过 比值的白噪声，用于模拟和分析传感器的测量误差
积分得到的速度序列会存在−v 0 的常数项偏移，位移序 影响。
列会存在−x 0 −v 0 i∆t 的趋势项偏移。由此可知，积分
表 1 不同工况条件设置情况
初值未知是导致时域积分产生趋势项的重要原因之一。
Tab. 1 Different working condition settings
值得注意的是，实测的 a j 本身也是存在误差的。
工况 采样 积分 初值是否 噪声/ 趋势项
该误差包括：传感器测量精度有限造成的误差，即测
编号 频率/Hz 方法 校正 信号 平均斜率
量误差；时域积分算法利用离散测量值积分存在的
1 256 矩形公式 是 0 2.35×10 −5
误差，即计算误差。如：矩形积分公式是将积分时间
2 256 矩形公式 否 0 0.0245
间隔∆t 内的值近似等于∆t 一侧端点的值，梯形积分 3 256 梯形公式 是 0 1.61×10 −5
公式是利用∆t 两测端点值做线性内插，更高阶的积 4 256 梯形公式 否 0 0.0245
分公式则是利用更多临近时刻离散值拟合。一般认 5 256 三阶公式 是 0 9.99×10 −6
为测量误差和计算误差具有相同的统计特性。因 6 256 三阶公式 否 0 0.0245
此，任意 j 时刻的两种误差可统一用 e j 表示，将其引 7 32 矩形公式 是 0 0.0248
入式 (1) 和 (2)，可分别转换为： 8 64 矩形公式 是 0 0.0031
9 128 矩形公式 是 0 0.0004
i−1 i−1
∑ ∑
v i = v 0 + a j Δt + e j Δt （3） 10 256 矩形公式 是 0 4.93×10 −5
j=0 j=0 −6
11 512 矩形公式 是 0 6.16×10
i−1 l−1 i−1 l−1
∑∑ ∑∑ 12 1024 矩形公式 是 0 7.70×10 −7
2
x i = x 0 +v 0 i∆t + a j ∆t + e j ∆t 2 （4）
13 256 矩形公式 是 0.2 4.93×10 −5
l=1 j=0 l=1 j=0
理 想 情 况 下， e j 在 时 间 维 度 上 的 均 值 为 0， 即 14 256 矩形公式 是 0.4 4.93×10 −5
式 (3) 及 (4) 中的误差项为零。然而实际情况下，由 15 256 矩形公式 是 1.0 4.90×10 −5
16 256 矩形公式 是 1.5 5.88×10 −5
于测量误差和计算误差的存在，e j 在时间维度上的
17 256 矩形公式 是 2.0 8.07×10 −5
均 值 并 不为 0， 从 而 导 致 时 域 积 分 结 果 存 在 误 差 。
18 256 矩形公式 是 3.0 4.54×10 −4
式 (3) 及 (4) 中，速度的误差项对每一时刻的误差值
e j 进行均匀累加，再与∆t（常数）相乘，而位移的误差 由图 1 和表 1 可知，在积分初值未知时，3 种积
项对不同时刻的误差值 e j 以不同的频次累加，再与 分方法均产生了显著的趋势项，且其平均斜率较接
∆t （常数）相乘。因此，相对于一次时域积分得到的 近。当校正积分初值后，均不再有明显的趋势项，表
2
速度，二次时域积分得到的位移对误差的敏感程度 明积分初值未知会导致趋势项的产生。值得注意的
更大，更易产生趋势项，消除难度也更大。值得注意 是，由 3 种积分方法得到的剩余趋势项平均斜率存
的是，e j 的累加值虽不为 0 但会限制在一定范围内， 有差异，三阶公式优于梯形公式，梯形公式优于矩形