Page 136 - 《振动工程学报》2026年第5期

1340 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

 称模态相同）；
ω n2 =


 v
 u √

 t
 ② a 3 ＞0 : 2M 1 c+C 1 M 3 ＞0 ⇒ k v ＞−c(1+2M 1 /M 3 )/k i ；

 2 2
 (K 1 M 3 +2kM 1 )− (K 1 M 3 +2kM 1 ) −4M 1 M 3 (2kK 1 −2k )



 ③ a 0 ＞0 : k i k s −k x ＞0 ⇒ k s ＞k x /k i ；



 2M 1 M 3
 ④ b 1 ＞0 : a 3 a 2 −a 4 a 1 ＞0；
ω n3 =



 v
 u √
 t ⑤ c 1 ＞0 : b 1 a 1 −a 3 b 2 ＞0。

 2
 2
 (K 1 M 3 +2kM 1 )+ (K 1 M 3 +2kM 1 ) −4M 1 M 3 (2kK 1 −2k )


 条件④和⑤会产生复杂的 k a 、k v 和 k s 不等式，但



2M 1 M 3 通常只要阻尼 c 足够大且参数 k a 、k v 和 k s 满足上述
（24）
不等式，这些条件易满足。因此，重点在于条件①~③。
对于对称模式，每个复数特征值对应的阻尼比
（3）整体参数范围总结
如下式所示：
σ 根据反对称与对称模式条件下的稳定性条件可
ζ = √ （25） 得，参数 k a 、k v 和 k s 需满足：
2
σ +ω 2
m 1
其形式难以解析表达，需通过数值方法求解特征值 ① k a ＞− ；
k i{ ( )}
后计算。 c c 2M 1
② k v ＞max − ,− 1+ （通常前者更严格）；
进一步地，根据表 1 中的参数并随机选择一组 { k i k i } M 3
k x −k k x
控制增益（ k a = 0.5，k v = 50，k s = 5000），得 3 个固有 ③ k s ＞max , （通常后者更严格）。
k i k i
频率的大小排序如下： 由此得：k a ＞−0.023，k v ＞−3.80，k s ＞2500。这些条

ω n2 = 36.42＜ω n1 = 155.89＜ω n3 = 193.47 件确保了系统渐近稳定。

 （26）

 f n1 = 5.80＜ f n2 = 24.82＜ f n3 = 30.80

2.3 控制增益 k a 、k v 和 k s 参数范围综合分析
式中，f n1 、f n 和 2 f n 分别为系统一阶、二阶和三阶固有
3
频率。由此可知，系统一阶固有频率 f n 对应模态为 根据稳定性条件可知，k a 、k v 和 k s 参数范围选择
1
左、右电磁铁及托臂三者同向运动（对应式（24）中的 空间较大，且 k a 和 k v 理论上允许负值。在实际系统
第 1 个公式）；系统二阶固有频率 f n 对应模态为左、 中， 需 考 虑 传 感 器 噪 声 和 执 行 器 饱 和 ， 通 常 选 择
2
右电磁铁二者相向运动，托臂必与其中一个电磁铁 k a ＞0、k v ＞0 和 k s ＞0 以提供足够的阻尼和刚度。
同向而与另一电磁铁相向（对应式（14）中的第 1 个 为更直观地获取固有频率随控制增益的变化情
公式）；系统三阶固有频率 f n 对应模态为左、右电磁 况，初步选择 k a 范围为 0~0.5，k s 范围为 2500~15000，
3
铁同向运动，托臂与其相向运动（对应式（24）中的第 计算系统各阶固有频率，结果如图 6 所示。根据图 6（a）
2 个公式）。 可知，一阶固有频率 f n 受 1 k a 的影响较小，主要随 k s 的
2.2 基于劳斯稳定性判据的 k a 、k v 、k s 参数范围 增大而增大。根据图 6（b）和（c）可知，二阶固有频
率 f n 和三阶固有频率 f n 随着 k a 和 k s 的变化趋势相
2
3
系统稳定性要求所有特征根实部为负。使用劳 同，两个固有频率均随着 k a 的增大而减小，随着 k s 的
斯稳定性判据分析特征方程。系统特征方程包括反 增大而增大。在所选控制增益参数范围内，一阶固
对称和对称模式，整体稳定性由两者保证。 有频率 f n 整体变化范围为 0~12.44 Hz，二阶固有频
1
（1）反对称模式稳定性条件 率 f n 整体变化范围为 22.99~55.48 Hz，三阶固有频率
2
根据式（13），可知系统反对称模式下的稳定性
f n 整体变化范围为 29.91~57.36 Hz。
3
要求如下：
进一步地，根据共振的条件可知，当系统外激频
① M 1 = m 1 +k i k a ＞0 ⇒ k a ＞−m 1 /k i ；

② C 1 = k i k v +c＞0 ⇒ k v ＞−c/k i ； 12
③ K 1 = k i k s −k x +k＞0 ⇒ k s ＞k x −k/k i 。 15 10
（2）对称模式稳定性条件
10 8
根据式（21），得 Routh 表如下：
f n1 6 固有频率 / Hz
s 4 a 4 a 2 a 0 5
s 3 a 3 a 1 0 4
s 2 b 1 = (a 3 a 2 −a 4 a 1 )/a 3 b 2 = a 0 0 0
15000
s 1 c 1 = (b 1 a 1 −a 3 b 2 )/b 1 0 0 2
10000 0.500
s 0 d 1 = a 0 0 0 0.375
5000 0.250
0
k s
0
0
k a
0.125
根据稳定性条件可得： (a) 一阶固有频率随控制增益的变化
① a 4 ＞0 : M 1 = m 1 +k i k a ＞0 ⇒ k a ＞−m 1 /k i （与反对 (a) First-order natural frequency as a function of control gain
固有频率
二阶固有频率随控制增益的变化

固有频率

三阶固有频率随控制增益的变化