Page 135 - 《振动工程学报》2026年第5期

第 5 期 王 珊，等：轨道不平顺激扰下高速磁浮列车悬浮控制参数边界及优化研究 1339

的电磁力。其他相关参数含义及数值参考表 1。 x s = x 1 + x 2 ，x a = x 1 − x 2 （11）
2 2
表 1 高速磁浮最小悬浮单元参数设置 对于左、右电磁铁的反对称模态，令：
Tab. 1 Parameters setting for minimum levitation unit of the x 1 = −x 2 = x a ，x 3 = 0 （12）
high-speed maglev train 将式（12）代入式（8），将式（8）中第 1 个方程减

物理量 数值 去第 2 个方程，得：
悬浮电磁铁质量 m 1 、m 2 /kg 300 M 1 ¨x a +C 1 ˙x a + K 1 x a = 0 （13）
托臂等效质量 m 3 /kg 450 由此可得，对于反相模态是解耦的，是一个简单
车体等效质量 m 4 /kg 2437.5 的二阶系统。
真空磁导率 μ /(H·m ) 4π×10 −7 解得反相模态的固有频率和阻尼比为：
−1
0
 √ √
串联电磁铁线圈匝数 N 270  K 1 k +k i k s −k x

ω n1 = =


电磁铁有效磁极面积 A/m 2 0.115  M 1 m 1 +k i k a （14）



 c+k i k v
电磁铁期望悬浮间隙 δ 0 /mm 10 ζ √
 =


2 (k +k i k s −k x )(m 1 +k i k a )
电磁铁稳定电流 i 0 /A 25
对于左、右电磁铁的对称模态，令：
叠片结构等效阻尼 c/(N·s·m ) 5000
−1
x 1 = x 2 = x s ，x a = 0 （15）
叠片结构等效刚度 ( −1 2×10 7 
k/ N·m )
M 1 ¨x s +C 1 ˙x s + K 1 x s −c˙x 3 −kx 3 = 0


（16）

 M 3 ¨x 3 −2c˙x s −2kx s +2c˙x 3 +2kx 3 = 0

电磁力表示为：
( ) 2 此时，系统被简化为 2 自由度子系统 (x s , x 3 )，可
2
µ 0 N A i 0 +i
F m = （4） 求两个固有频率和阻尼比。
4 δ 0 +δ
将式（16）写成矩阵形式：
将其在平衡点线性化可得： [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]
˙
M 1 0 ¨ x s C 1 −c x s K 1 −k x s
F m = F 0 −k x δ+k i i （5） 0 M 3 x 3 + −2c 2c x 3 + −2k 2k x 3 = 0
˙
¨
式中，F 0 为系统重力的平衡力；平衡点位置系数 k x = （17）
µ 0 N Ai /2δ ；平衡点电流系数 k i = µ 0 N Ai 0 /2δ 。 式（17）的特征方程阶数为四阶。特征方程通过
2
2
2
2
3
0
0
0
采用电流控制策略，其中控制量包括悬浮间隙、 拉普拉斯变换得到：
[ ]
2
悬浮间隙的一阶微分以及加速度，如下式所示： det M 1 s +C 1 s+ K 1 −(cs+k) = 0 （18）
2
−(2cs+2k) M 3 s +2cs+2k
˙
¨
i=k a δ+k v δ+k s δ （6）
式中，k a 、k v 和 k s 分别为加速度增益、速度增益和位 式中，s 为拉普拉斯变量， s = −σ+jω，其中，σ 为衰减
置增益。 因子，j 为虚数单位，ω 为角频率。
则电磁力可进一步表示为： 特征方程行列式为 0：
3
4
¨
˙
F m =F 0 −k x δ+k i (k a δ+k v δ+k s δ) = M 1 M 3 s +(2M 1 c+C 1 M 3 )s +(2M 1 k +2C 1 c+ K 1 M 3 −
2
2
˙
¨
F 0 +k i k a δ+k i k v δ+(k i k s −k x )δ （7） 2c )s +(2C 1 k +2K 1 c−4ck)s+2k(K 1 −k)=0 （19）
重力项和恒定力只影响静态平衡位置，对固有 令式（19）各阶系数如下：
频率和阻尼比无影响。进一步推得系统在平衡位置 

a 4 = M 1 M 3 = (m 1 +k i k a )M 3


的振动方程如下： 
a 3 =2M 1 c+C 1 M 3 = 2(m 1 +k i k a )c+



 
(m 1 +k i k a ) ¨x 1 +(c+k i k v ) ˙x 1 +(k +k i k s −k x ) x 1 −c˙x 3 −kx 3 = 0 


 
  (k i k v +c)M 3
 （20）

(m 2 +k i k a ) ¨x 2 +(c+k i k v ) ˙x 2 +(k +k i k s −k x ) x 2 −c˙x 3 −kx 3 = 0  2
a 2 = 2M 1 k +2C 1 c+ K 1 M 3 −2c

 
 
 
 (m 3 +m 4 )¨x 3 −c˙x 1 −kx 1 −c˙x 2 −kx 2 +2c˙x 3 +2kx 3 = 0 
a 1 = 2C 1 k +2K 1 c−4ck


（8）  a 0 = 2k(K 1 −k)




根据式（8），令：
得到：


M 1 = m 1 +k i k a

 4 3 2
 a 4 s +a 3 s +a 2 s +a 1 s+a 0 =0 （21）


M 2 = m 2 +k i k a


 在无阻尼情况下（c=0 和 k v =0，即 C 1 =0），特征方
 （9）
M 3 = m 3 +m 4


 程式（19）简化为：

C 1 = k i k v +c





2
2
4
 K 1 = k i k s −k x +k M 1 M 3 ω −(K 1 M 3 +2kM 1 )ω +(2kK 1 −2k ) = 0 （22）
高速磁浮最小悬浮单元的矩阵方程为： 求解得到无阻尼固有频率的表达式为：
√
        
2
2
M 1 0 0 ¨x 1 C 1 0 −c˙x 1 K 1 0 −kx 1 (K 1 M 3 +2kM 1 )± (K 1 M 3 +2kM 1 ) −4M 1 M 3 (2kK 1 −2k )
        
        
        
2
 0 M 2 0  ¨x 2 +  0 C 1 −c ˙x 2 +  0 K 1 −kx 2 = 0 ω =

  
  
 



     
        
         2M 1 M 3
˙
¨
0 0 M 3 x 3 −c −c 2c x 3 −k −k 2k x 3 （23）
（10）
由于系统左右对称，可用模态坐标变换解耦，定义： 由此得到两个解 ω n 和 ω n3 ：
2