Page 262 - 《振动工程学报》2026年第3期

862 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

同样地，对式（15）和（16）进行 DTM 变换：
D t
引入截面变化系数 γ D = - 1，则塔筒 x 截面
D b 1 )
3
K ( k )= πt t D b[ δ( ) k + 3γ D δ( k - 1 +
处的直径、截面惯性矩和截面面积分别表示为： 8
( x ) 3γ D δ( k - 2 + γ D δ( k - ] ) 3 -
)
3
2
D ( x )= D b 1 + γ D （7）
)
L t 3
2
2
πt t D b[ δ( ) k + 2γ D δ( k - 1 +
1 3 8
3
2
2
I ( x )= πD ( x) t t - πD ( x) t t +
8 8 1
2
3
γ D δ( k - ] ) 2 + πt t D b ×
1 1 2
3
πD ( x) t t - πt t 4 （8）
2 4 1 πt t δ(k)
A( x )= π[ D ( x ) t t - t t ] （9） [ δ(k) + γ D δ(k - 1) ] - 4 4 （18）
2
当梁作自由振动时，解有如下形式： N ( k )= πt t[ D b δ(k) + γ D D b δ(k- 1) - t t δ(k) ]（19）
iωt
y t ( x，t )= Y t ( x )e （10） 式 中 ， K ( k )、 M ( k ) 和 N ( k ) 分 别 为 I ( ϖ )、 Y t ( ϖ ) 和
式中， Y t ( x )为塔筒的横向振动函数； ω 为横向自由 A( ϖ )的微分变换式； δ 为狄拉克函数，见表 1。
振动圆频率；i = -1 。 根据表 1 可将式（15）和（16）写为如下形式：
将式（10）代入式（6）中可得： 1 3 1 1
3
2
3
2
4
K ( 0 )= πt t D b - πt t D b + πt t D b - πt t （20）
3
4
∂ Y t ( x ) ∂I ( x ) ∂ Y t ( x ) 8 8 2 4
EI ( x ) + 2E +
∂x 4 ∂x ∂x 3 3 3 1
2
3
2
3
K (1 )= πt t D b γ D - πt t D b γ D + πt t D b γ D （21）
2
2
∂ I ( x ) ∂ Y t ( x ) 8 4 2
E - ρA( x ) ω Y t ( x )= 0 （11）
2
∂x 2 ∂x 2 K ( 2 )= 3 πt t D b γ D - 3 πt t D b γ D 2 （22）
2
3
2
2
令： 8 8
x 1 3 3 （23）
ϖ = （12） K ( 3 )= 8 πt t D b γ D
L t
N ( 0 )= πt t ( D b - t t ) （24）
将式（12）代入式（11）中，可得无量纲后的塔筒
（25）
自由振动方程为： N (1 )= πt t γ D D b
( 4 )
I ( ϖ )Y t (ϖ) + 2I ′(ϖ)Y ″′(ϖ) + 结合式（20）~（25）对式（17）进行整理，可得塔
t
I ″( ϖ )Y ″(ϖ) - Ω A(ϖ)Y t(ϖ) = 0 （13） 筒振动方程通项表达式：
2
t
M ( k + 4 )= {-[ 2K (1 )( k + 3 )( k + 2 )( k + 1 )+
4
式中，频率无量纲参数 Ω = ω m t L t ，其中， m t 为塔 K ( 2 )( k + 3 )( k + 2 )( k + 1 ) k ]× M ( k + 3 )-
EI t
筒质量， I t 为塔筒惯性矩。 [ 2K ( 2 )( k + 2 )( k + 1 )+ 4K ( 2 )( k + 2 )( k + 1 )×
同理，对式（7）~（9）作无量纲处理，可以得到： k + K ( 2 )×( k + 2 )( k + 1 ) k ( k - 1 ) ] M ( k + 2 )-
D ( ϖ )= D b (1 + γ D ϖ ) （14） [ 6K ( 3 )( k + 1 ) k + 6K ( 3 )( k + 1 )× k ( k - 1 )+
K ( 3 )( k + 1 ) k ( k - 1 )×( k - 2 ) ] M ( k + 1 )+
1 3
2
3
2
I ( ϖ )= πD (ϖ) t t - πD (ϖ) t t + Ω N ( 0 ) M ( k )+ Ω N (1 ) M ( k - 1 ) } /
2
2
8 8
1 1 [ K ( 0 )( k + 4 )×( k + 3 )( k + 2 )( k + 1 ) ] （26）
3
πD (ϖ) t t - πt t 4 （15）
2 4
A( ϖ )= π[ D ( ϖ ) t t - t t ] （16） 3. 2 连接段方程建立
2
根据 DTM 变换法则，振动方程式（13）可转换 建立等截面连接段横向振动方程：
为如下迭代式： ∂ y c ( x，t ) ∂ y c ( x，t )
2
4
k EI c + ρA c = 0，
∑ K ( l )( k - l + 4 )( k - l + 3 )( k - l + 2 )× ∂x 4 ∂t 2
l = 0 （27）
L p < x < L p + L c
k
( k - l + 1 )× M ( k - l + 4 )+ 2 ∑ ( l + 1 )× 式 中 ， I c 和 A c 分 别 为 连 接 段 截 面 惯 性 矩 和 截 面 面
l = 0
积； y c ( x，t )为连接段横向位移。
K ( l + 1 )( k - l + 3 )×( k - l + 2 )( k - l + 1 )×
k 引入下式：
M ( k - l + 3 )+ ∑ ( l + 2 )×( l + 1 ) K ( l + 2 )× y c ( x，t )= Y c ( x )e iωt （28）
l = 0
( k - l + 2 )( k - l + 1 ) M ( k - l + 2 )+ 对式（27）进行变量分离，可得：
k 4
Ω 2 ∑ N ( l ) M ( k - l )= 0 （17） EI c ∂ Y c ( x ) - ρA c ( x ) ω Y c ( x )= 0 （29）
2
l = 0 ∂x 4