Page 263 - 《振动工程学报》2026年第3期

第 3 期 余云燕，等： 黏弹性 Winkler 层状地基中大直径单桩海上风机的横向自振频率计算及分析 863

对式（29）进行无量纲处理，令： -d j S j ( k )- u j S j ( k )+ m j S j ( k )
S j ( k + 4 )= （38）
x ( k + 4 )( k + 3 )( k + 2 )( k + 1 )
ϑ = （30）
式中， S j ( k )为 Y p j(ν) 的微分变换式。
L c
将式（30）代入式（29）中，得到连接段无量纲处
3. 4 边界条件
理后的自由振动方程：
( 4 )
Y c (ϑ) - rY c(ϑ) = 0 （31） 考虑桩端铰接工况，即桩底位移和弯矩为零，边
2 4
ρA c ω L c 界条件表示为：
式中，无量纲质量系数 r = 。
EI c 2
( x，t )
∂ y p 1
对式（31）进行微分变换，可得到连接段振动方 y p 1 ( x，t )= 0， EI p 1 ∂x 2 = 0 （39）
程的通项表达式： 第 j - 1 层土中桩顶与第 j 层土中桩底的边界条
rT ( k )+ sT ( k )
T ( k + 4 )= （32） 件可表示为：
( k + 4 )( k + 3 )( k + 2 )( k + 1 )
( x，t )= y p j ( x，t )，
y p j - 1
式中， T ( k )为 Y c(ϑ) 的微分变换式。
( x，t ) ( x，t )
∂y p j - 1 = ∂y p j ，
3. 3 单桩基础方程建立 ∂x ∂x
2 2
( x，t ) ∂ y p j ( x，t )
∂ y p j - 1
基于 Euler 梁理论，建立第 j 层土中等截面单桩 EI p j - 1 ∂x 2 = EI p j ∂x 2 ，
横向振动方程： 3 ( x，t ) ∂ y p j ( x，t )
3
（40）
∂ y p j - 1
4 EI p j - 1 ∂x 3 = EI p j ∂x 3
∂ y p j ( x，t ) ∂y p j ( x，t )
+
∂x 4 ∂t 根据力平衡与位移协调关系，表层土体中桩顶
EI p j + k j y p j ( x，t )+ c x j
2
∂ y p j ( x，t ) 与连接段底部边界条件可表示为：
∂t 2 ( x，t )，
ρA p j = 0， 0 < x < L p （33）
y c ( x，t )= y p n
式中， I pj 为第 j 层土中桩截面惯性矩； A pj 为第 j 层土
∂y c ( x，t ) ∂y p n ( x，t )
为 ∂x = ∂x ，
中桩截面面积； k j 为第 j 层土的土体刚度系数； c x j
2
2
第 j 层土的阻尼系数。 ∂ y c ( x，t ) ∂ y p n ( x，t )
EI c 2 = EI p n 2 ，
引入下式： ∂x ∂x
3
3
iωt ∂ y c ( x，t ) ∂ y p n ( x，t )
( x )e （34）
y p j ( x，t )= Y p j （41）
∂x 3 ∂x 3
EI c = EI p n
( x )为第 j 层土中桩的横向振动函数。
式中， Y p j
同样地，连接段顶部与塔筒底部边界条件为：
将式（34）代入式（33）中，可得：
y b ( x，t )= y c ( x，t )，
4
∂ Y p j ( x )
( x )- ∂y b ( x，t ) ∂y c ( x，t )
∂x 4 ∂x = ∂x ，
EI p j + k jY p j ( x )+ iωc x j Y p j
2 （35）
ρA p j ω Y p j ( x )= 0 2 2
∂ y b ( x，t ) ∂ y c ( x，t )
引入无量纲参数： EI b ∂x 2 = EI c ∂x 2 ，
x 3 3
ν = （36） ∂ y b ( x，t ) ∂ y c ( x，t ) （42）
EI b = EI c
L p ∂x 3 ∂x 3
将式（36）代入式（35）中，得到第 j 层土中桩振 塔筒顶部内力与质量块的惯性力达到平衡，表
动方程的无量纲形式，可以表示为： 示为：
Y p j (ν) + d jY p j(ν) + u jY p j(ν) - m jY p j(ν) = 0 （37） ∂ y t ( x，t )
( 4 )
2
EI t = 0，
4 ∂x 2
k j L p j
式中，无量纲地基水平抗力系数 d j = ；无量纲
3
2
∂ y t ( x，t ) ∂ y t ( x，t )
EI p j
= 0 （43）
EI t - M R
4 ∂x 3 ∂t 2
iωc x j L p j
地 基 阻 尼 系 数 u j = ；无 量 纲 质 量 系 数 m j =
分别对式（39）~（43）进行分离变量和 DTM 变
EI p j
换，得到：
2 4
。
ρA p j ω L p j
桩底边界条件初值为：
EI p j
对式（37）进行微分变换，可得第 j 层土中桩振 S 1 ( 0 )= 0， S 1 ( 2 )= 0 （44）
动方程通项表达式为： 第 j 层土中桩底部的边界条件初值为：