Page 19 - 《振动工程学报》2026年第3期

第 3 期 许 卓，等： 螺栓连接纤维增强薄壁锥-柱组合壳的固有特性分析 619

其衰减程度分别设定为 0.9、0.8、0.7、0.6 和 0.5。本 基于 Love 壳理论，对于圆锥壳的应力⁃应变关
文中假定距离螺栓连接最远处（两个拧紧螺栓间的 系可表示为：
中 间 位 置）的 副 弹 簧 刚 度 值 为 0.5 倍 的 主 弹 簧 刚 ∂u o 1 ∂v o )
o
o
ε x = ，ε θ = + u o sinα - w o cosα ，
度值。 ∂x o x o sinα( ∂θ
2
图 2 也侧面反映出了螺栓预紧力与弹簧的刚度 ∂v o v o 1 ∂u o ∂ w o
o
o
γ xθ = - + ⋅ ，X x =- ，
关系。当某一位置的螺栓出现缺失情况时，即螺栓 ∂x o x o x o sinα ∂θ ∂x o 2
2
预紧力为 0，相应角度位置的主弹簧刚度值为 0，并 o cosα ⋅ ∂v o ∂ w o ∂w o
X θ = 2 2 - 2 2 2 - ，
且与之相邻的两个副弹簧刚度变为原主弹簧刚度的 x o sin α ⋅ ∂θ x o sin α ⋅ ∂θ x o ∂x o
1 2
0.1 倍，距离缺失位置越远，其降低程度越小。即螺 X xθ = x o tanα - 2 2v o - 2∂ w o + 2 2∂w o （6）
o
∂x o ∂θ
栓缺失部分的副弹簧刚度按距离远近依次变为 0.4、 x o tanα x o sinα ⋅ ∂θ
对于圆柱壳的应力⁃应变关系可表示为：
0.3、0.2 和 0.1 倍，大致变化如图 2 所示。并且若相邻
1 ∂v y w y ∂u y ∂v y
∂u y
的 螺 栓 出 现 缺 失 时 ，其 间 隔 处 的 副 弹 簧 刚 度 全 部 ε x = ，ε θ = ⋅ + ，γ xθ = R y ⋅ + ，
y
y
y
∂x y R y ∂θ R y ∂θ ∂x y
视为 0。
2 2
∂ w y y ∂v y ∂ w y
y
X x =- ，X θ = - ，
2
2
1. 2 应力‑应变关系 ∂x y 2 R y ⋅ ∂θ R y ⋅ ∂θ 2
2
2∂ w y
o
根 据 广 义 胡 克 定 律 ，本 文 研 究 的 各 向 异 性 X xθ =- R y ⋅ ∂x y ∂θ + 2∂v y （7）
CLSC 的各层应力⁃应变关系可表示为： R y ⋅ ∂x y
s ( k ) s s ( k ) s ( k ) 1. 3 位移场函数
ê ê é σ 1 ù ú ú ê ê éQ 11 Q 12 0 ú ú êê ê ù ú ú
ù é ε 1
ê
ê s ú ú ê s s 0 ú ú ê s ú ú （1）
ê
ê ê ê σ 2 s ú ú = ê Q 21 Q 22 s ú ú êê ê ê ε 2 s ú ú 位移场函数的建立对于壳体固有特性的分析具
ê ê
ëτ 12 û ë 0 0 Q 66 û ë γ 12 û
有 重 要 的 作 用 。 基 于 经 典 层 合 理 论 和 Kirchhoff⁃
s
s
s
s
式中， σ 1、 σ 2 和 ε 1、 ε 2 分别表示平行纤维方向、垂直纤
Love 壳假设，在壳体受到剪切变形影响时，其壳体
s
s
维方向的应力和应变； τ 12 和 γ 12 分别表示 1⁃2 面内的
的中面位移将忽略不计。基于上述假设，利用双项
s
剪切应力和剪切应变（s=o，y）； Q pq （p，q=1，2，6）为 梁函数法建立的位移场函数如下：
刚度参数，表示为： 对于圆锥壳体的位移场函数：
s E 1 s μ 1 E 1 ì
Q 11 = ， Q 12 = ， ∂P ( x )
ï ïu o ( x o，θ，t )= A ⋅ cos ( ω o t ) cos ( nθ )
ï ï
1 - μ 1 μ 2 1 - μ 1 μ 2 ∂x
í （8）
s E 2 s s E 2 ï ï v o ( x o，θ，t )= B ⋅ P ( x ) cos ( ω o t ) sin ( nθ )
Q 22 = ， Q 66 = G 12， μ 2 = μ 1 （2） ï
î
1 - μ 1 μ 2 E 1 ï ï ï w o ( x o，θ，t )= C ⋅ P ( x ) cos ( ω o t ) cos ( nθ )
s
当引入铺层角度 β 后，对于 CLSC 第 k 层的应 对于圆柱壳体的位移场函数：
力⁃应变关系为： ì ∂P ( x )
ï ï
ï
é ê ê ~ s ~ s ~ s ù ú ú ( k ) ïu y ( x y，θ，t )= a ⋅ ∂x cos ( ω o t ) cos ( nθ )
ï ï
s ( k ) Q Q Q s ( k ) í （9）
ê ê
ê ê é σ x ù ú ú ê ê 11 12 16 ú ú é ε x ù ú ú ï ï v y ( x y，θ，t )= b ⋅ P ( x ) cos ( ω o t ) sin ( nθ )
ê
ê ê~ s
ê s ú ú = Q ~ s ~ s ú ú ê s ú ú （3） ï
ï
Q
Q
ê ê ê σ θ s ú ú ê ê ê ê 21 22 26 ú ú êê ê ê ε θ s ú ú î
ï ïw y ( x y，θ，t )= c ⋅ P ( x ) cos ( ω o t ) cos ( nθ )
ëτ xθ û ê ê ~ s ~ s ~ s ú ú ë γ xθ û
ë Q 61 Q 62 Q 66 û 式中，A、B、C 和 a、b、c 分别表示圆锥壳和圆柱壳的
~ s 各个坐标轴方向上的振动幅值；n 为 CLSC 的周向
式中，刚度参数矩阵 Q （p，q=1，2，6）为：
pq
波数； ω o 为 CLSC 的固有频率；P（x）为梁函数，根据
~ s ( k )
) Q pq (T
Q =(T s ( k ) -1 s ( k ) s ( k ) -T （4）
)
pq 壳体的边界条件不同，其具体表达式也会有所不同。
s
式中， Q pq 为初始状态下的刚度参数矩阵； T 为复合 本文采用弹性边界进行讨论，但弹簧刚度趋于无穷。
s ( k )
单层主材料与壳体坐标之间的变换矩阵，可表示为： 根据文献［24］，在刚度足够大时，可利用经典边界条
T s ( k ) = 件下的参数进行研究。并根据文献［1］可知，梁函数
s
é cos β k s sin β k s 2sinβ k cos β k s ù ú ú P（x）表示为：
2
2
ê ê
ê ê 2 s 2 s s s ú ú
ê ê sin β k cos β k -2sinβ k cos β k ú ú ( ) ( )
λ m x ζ
λ m x ζ
ê ê s s s s s s ú ú P ( x )= cosh - cos -
2
2
ë -sin β k cos β k sin β k cos β k cos β k - sin β k û L ζ L ζ
λ m x ζ ù
（5） é ê ê ( ) ( ) ú ú
λ m x ζ
σ m êê sinh - sin ú ú；ζ = o，y （10）
s
式中， β k 表示第 k 层在材料主方向上的纤维角。 ë L ζ L ζ û