Page 20 - 《振动工程学报》2026年第3期

620 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

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式 中 ， λ m 和 σ m 分 别 为 圆 锥 壳 和 圆 柱 壳 的 梁 函 数 参 ê ê éA 11 A 12 A 16 B 11 B 12 B 16 ù ú ú
s s s s s s ú ú
数；m 为 CLSC 的轴向半波数。 ê êA 21 A 22 A 26 B 21 B 22 B 26 ú ú
ê ê
s
s
s
s
s
s
ê ê A 61 A 62 A 66 B 61 B 62 B 66 ú
在 本 文 中 ，圆 锥 壳 为 一 端 固 定 一 端 自 由 状 态 O s = ê ê s s s s s s ú （17）
ú
（C⁃F），圆柱壳为两端固定状态（C⁃C）。根据文献［1］， ê ê ê ê B 11 B 12 B 16 D 11 D 12 D 16 ú ú ú
s
s
s
s
s
s
ê ê B 21 B 22 B 26 D 21 D 22 D 26 ú ú
圆锥壳与圆柱壳的梁函数参数 λ m 和 σ m 的取值如表 1 s s s s s s û
ëB 61 B 62 B 66 D 61 D 62 D 66
s
s
s
所示。 O s 中 各 矩 阵 参 数 A ij、B ij、C ij （i，j=1，2，6）的 计
算公式为：
表 1 梁函数参数的取值 ì N ~ s( k )
s
Tab. 1 Values of beam function parameters ï ï A ij = ∑ Q pq ( h k - h k + 1 )
ï ï
边界条件 m λ m σ m ï ï k = 1 N ~ s( k )
ï ï
1
s
2
2
í B ij = ∑ Q ( h k - h k + 1 ) （18）
1 1.87510 0.73409 pq
ï ï 2 k = 1
C-F 2 4.69409 1.01847 ï ï 1 N ~ s( k )
s
3
3
ï ï D ij = ∑ Q ( h k - h k + 1 )
î
3 7.85476 0.99922 ï ï 3 k = 1 pq
1 4.73004 0.98250 ~ s( k )
式中，N 表示复合层壳体的层数；Q 表示第 k 层的
C-C 2 7.85320 1.00077 pq
刚度矩阵； h k 表示中间平面到上下表面的距离。
3 10.99560 0.99996
为了合理地建立组合结构的动力学控制方程，
需要考虑连接处的位移连续条件，将圆锥壳所在的
1. 4 能量表达式
局部坐标系转换为圆柱壳所在的整体坐标系，根据
CLSC 可以看成由两个子结构壳体（圆锥壳和 坐标系转换条件，其圆柱壳与圆锥壳的位移关系可
圆柱壳）通过一组连续分布的人工弹簧连接而成。 表示为：
u y = u o cosα - w o sinα，v y = v o，
由于弹簧变形具有一定的相容性，在建立 CLSC 的
能量方程时可以单独考虑两个子结构壳体的能量， w y = u o sinα + w o cosα， ∂w y = ∂w o （19）
∂x y ∂x o
最后将其相加。综上，圆锥壳的应变能可表示为：
连接处主、副弹簧所产生的弹性势能可定义为：
1 L o 2π p q
T
U o = ∫ ∫ ε o O o ε o R o dθdx o （11） Zi Ci （20）
2 0 0 U spr = ∑ U spr + p ⋅ ∑ U spr
i = 1 i = 1
o
式中， R o = R 1 + sinα ⋅ x ( x ∈ ( 0，L ) )； ε o 为一组应变 Zi
式中， U spr 为主弹簧所产生的能量，其具体表达式为：
向量，其表达式为： R y êê é θ Zi + ΔZ
Zi
Zi
2
ê ê
o
o o o o o X xθ ] （12） U spr = ê ê∫ k u ( u y - u o cosα+ w o sinα ) +
ε o =[ ε x ε θ ε xθ X x X θ 2 ë θ Zi - ΔZ
圆锥壳的动能表达式具体如下： k v ( v y - v o ) + k w ( w y - u o sinα- w o cosα ) +
Zi
Zi
2
2
é
ρh ∫ ∫ ê ê ê( ) ( ) ( ) 2 ù ú ú 2 ù ú ú
L
2
2
o
2π
ê
T o = ê ê ∂u o + ∂v o + ∂w o ú ú R o dθdx o Zi ∂w y ∂w o ) dθ （21）
2 0 0 ë ∂t ∂t ∂t û k θ ( ∂x y - ∂x o ú ú û
o
x o = L ，x y = 0
（13） Ci
U spr 为副弹簧所产生的能量，其具体表达式为：
同理，圆柱壳的应变能和动能的表达式如下： R y êê é θ Ci + ΔC
Ci
Ci
2
ê ê
1 L y 2π U spr = ê ê∫ k u ( u y - u o cosα+ w o sinα ) +
T
U y = ∫ ∫ ε y O y ε y R y dθdx y （14） 2 ë θ Ci - ΔC
2 0 0 Ci Ci
2
2
其中， ε y 的具体表达式为： k v ( v y - v o ) + k w ( w y - u o sinα- w o cosα ) +
y y y y y X xθ ] ∂w y ∂w o ) 2 ù ú ú
y
ε y =[ ε x ε θ ε xθ X x X θ （15） Ci dθ ú ú （22）
k θ -
( ∂x y ∂x o û
圆柱壳的动能表达式为： x o = L ，x y = 0
o
2π é
2
2
ρh ∫ ∫ êê( ) ( ) ( ) 2 ù ú ú 1. 5 固有频率求解
L
y
ê
ê ê ∂u y
∂w y
∂v y
T y = ê + + ú ú R y dθdx y
2 0 0 ë ∂t ∂t ∂t û
本文基于 Rayleigh⁃Ritz 方法，将式（8）和（9）代入
（16）
动能表达式（13）、（16）和边界弹性势能表达式（21）、
在两个子结构壳体的应变能表达式中， O s （s= （22）中 ，可 得 到 组 合 壳 体 的 总 动 能 和 边 界 处 弹 簧
o，y）为圆锥壳及圆柱壳的复合材料层合刚度矩阵， 所产生的弹性势能 ；将位移函数及应变⁃位移关系
其定义如下： 式（6）和（7）代入应变能表达式（11）和（14）中，可获