Page 8 - 《振动工程学报》2026年第2期

324 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

S f 解，之后可以进一步计算得到 Hessian 矩阵，而协方
α k = 2 = S f A k （15）
2
(β −1) +(2ζβ k ) 2 差矩阵就是 L(θ 1 )在 θ 1 处 Hessian 矩阵的逆。
ˆ
k
式中， β k = f/f k ，f 为自振频率； 为模态阻尼比；S f 为
ζ
1.3 贝叶斯谱分解法的振型识别
模态力的功率谱密度； A k 为模态动力放大因子。为
了进一步推导奇异值与奇异向量的统计特性，需要 根据式 (13) 可知，对应最大奇异值的奇异向量
对 S( f k )的表达式进行更深层次的变形和展开。这个 u是模态振型 ϕ的最佳估计，且具有单位归一化。根
过程基于以下两点假设：（1）S e 是一个厄米特矩阵 据文献 [19]，若 u i （i=1,2,…,p）为 S( f k )的奇异向量，且
ˆ
(Hermitian matrix)， 且 在 频 带 Ω j 内 是 平 缓 的 ； （ 2） S e λ i 和 是 的奇异值和对应的奇异向量， 则 服从渐
Σ
u i
e i
的奇异向量之一位于由 ϕ扩展成的模态空间内。 进的高斯分布，相应的协方差矩阵为：
{
p
N s
接 下 来， 定 义 一 个 标 准 正 交 基 B = b i ∈ R : ∑ λ i λ j
cov(u i ,u i ) = e j e T （23）
} 2 j
(λ i −λ j ) M
i = 1,2,··· ,N s ，假设 b 1 = ϕ，且 {b i : i = 2,··· ,N s }是正交 j = 1
j , i
于 ϕ扩展形成子空间的标准正交基。基于此，可以
将 S e 写为： 则 λ k 对应的奇异向量 ϕ的协方差矩阵可写为：
N s ∑
N s ∑ (α k +a 1 )a j T （24）
T
S e = a 1 ϕϕ + a i b i b T （16） cov(ϕ,ϕ) = 2 b j b j
i (α k +a 1 −a j ) M
j=2
i=2
式中， a i (i = 1,2,··· ,N s )为 S e 的奇异值，对应的奇异向 由式 (23) 可知， cov(ϕ,ϕ)是一个秩为 N s −1的奇异
量为 b i (i = 1,2,··· ,N s )。将式 (15) 代入式 (13) 中可得： 矩阵。 cov(ϕ,ϕ)的奇异值分别为 0, a 2 , …, ，对应的奇
a j
异向量为 e 1 = ϕ, b 2 , …, b Ns 。一旦获得模态振型的最
N s ∑
T
S( f k ) = (α k +a 1 )ϕϕ + a i b i b T i （17） 佳估计，就可以通过式 (24) 计算振型的协方差矩阵。
i=2
由于 cov(u k ,u k )是奇异的，其行列式等于零，因此
S( f k )的奇异值分别为 α k +a 1 a 2 ,…, a N s ，对应的奇
,
它的逆矩阵是不存在的，此时可以采用伪行列式和
异向量分别为 b 1 = ϕ b 2 ,…, b N s 。最大的奇异值 λ k 为：
,
伪逆进行后续计算。
S f
λ k = α k +a 1 = +a 1 （18） 以上即为贝叶斯谱分解法的基本理论。综合来
2
2
(β −1) +(2ζβ k ) 2
k
看，贝叶斯谱分解法的基本假定和基本定理包括以
ˆ
因为 S( f k )服从维数为 N s 及自由度为 M 的中心复
下三个方面：（1）环境激励和预测误差均为高斯白噪
Wishart 分布 W(Σ, M) Σ为实协方差矩阵。分别定义
，
声；（2）结构响应功率谱矩阵的奇异值和奇异向量服
{λ i ,i = 1,2,··· , p}和 {l i ,i = 1,2,··· , p}是 和 W 的奇异值，
Σ
从渐进的高斯分布；（3）模态参数的后验概率密度函
根 据 文献 [19]， 当 M 足 够 大 ， l i 服 从 渐 进 的 高 斯 分
数近似服从高斯分布，其中（1）为基本假定，（2）和
ˆ
布。若将 l 定义为 S( f k )的第 i 个奇异值（由大至小排
i
k （3）是根据概率理论得到的基本定理。需要指出的
列）， l 的均值和方差可分别写为：
i
k 是，贝叶斯谱分解法适用于在环境激励下进行结构
λ 2
1
1
E(l ) = λ k ,Var(l ) = k （19） 模态参数识别。在应用该方法时，需要假设环境激
k
k
M
a 2 励为高斯白噪声，并且对于具有明显可分离模态特
i
i
E(l ) = a i ,Var(l ) = i ; i = 2,··· ,N s （20）
k k 征的结构，其识别效果更佳。此外，测量数据的长度
M
可将待识别的频谱参数分为两组： θ 1 = f,ζ,S f ,a 1 } 不应过短，因为进行功率谱矩阵估计的平均次数和
{
和 θ 2 = {a i ,i = 2,··· ,N s }。 假 设 一 个 非 信 息 的 先 验 分 频率分辨率都需要足够长的响应长度以提高精度。
布，则最大奇异值的 PDF 可写为： 同时，后验概率密度的高斯近似也对测量数据的长

1 1 度有一定的要求。
l
p(θ 1 k 1 ∼k 2 ) ∝ p(l k 1 ∼k 2 |θ 1 );
√
M M(l k −λ k ) （21）
k 2 ∏ ( 2 )
√ exp −
2λ 2
2πλ k k
k=k 1 2 数 值 算 例
对于 θ 2 ，其后验 PDF 也可写作同样的形式。通过
ˆ
最大化式 (21)，就可以获得最佳估计 θ 1 ，而这个过程相 图 1 是一个六层剪切框架模型，用于验证 BSD
当于将负对数似然函数 L(θ 1 )最小化，如下式所示： 的有效性。由于大跨度斜拉桥具有低频、密频的特
 √  4
1 2 点，因此将模型每层的质量设为 m=l×10 kg，各层间
[ ] k 2 ∑   2πλ k M(l −λ k )  
L(θ 1 ) = −ln p(l 1 |θ 1 ) =   ln √ + k   
5
k 1 ∼k 2  2λ 2  刚度统一取为 k=2.5×10 N/m，以使结构的自振频率
M
k=k 1 k
（22） 低于 2 Hz。采用 Rayleigh 阻尼模型，前两阶的阻尼
接下来，可以使用数值优化算法对 L(θ 1 )进行求 比设为 ζ 1 = ζ 2 = 1%。假设每层结构均受到独立的平