Page 7 - 《振动工程学报》2026年第2期

第 2 期 封周权，等：环境激励下大跨度斜拉桥模态参数识别的贝叶斯谱分解法研究 323

M−N s 可比矩阵，可由最小化性质消去，则后验 可以用
π −N s (N s −1)/2 M N s (M−N s ) ˆ PDF
S( f k )
ˆ
p(S( f k )) =   ×
N s 高斯分布来近似：
∏ 
 
  M

 (M − p)!|S( f k )|

  1
  k 1 ,k 2 ˆ T −1 ˆ ˆ （11）
p=1 p(θS ) ∝ exp[− (θ −θ) C (θ)(θ −θ)]
2
ˆ
−1
exp(−Mtr[S ( f k )S( f k )]) （3）
ˆ
式中,后验协方差矩阵 C(θ) = H (θ)。
−1 ˆ
式中， |A|和 tr[A] 分别表示矩阵 A 的行列式和迹。此
式 (2)～(11) 构成了 BSDA 的基本理论，其中的
外， 还 可 进 一 步 证 明 当 信 号 长 度 N → ∞且 k , l时 ，
ˆ
ˆ
关键问题是最佳估计 θ和后验协方差矩阵 C(θ)的计
ˆ
ˆ
S( f k )和 S( f l ) 是独立的 Wishart 分布，即：
算， 其 本 质 是 一 个 数 值 优 化 问 题 。 随 着 测 量 通 道
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
p[S( f k ),S( f l )] = p[S(f k )]p[S( f l )] （4） N s 和模态阶数 N m 的增加，优化求解的维数呈爆炸式
另一方面，假设线性阻尼动力模型具有 N r 个模
增长，其计算效率难以适应大跨度桥梁模态参数识
态，当采样频率足够高和采集数据时间较长时，式 (3)
别的要求。

中的 S( f k )可以写为：
1.2 贝叶斯谱分解法的频率和阻尼识别
T （5）
S( f k ) = ΦH k Φ +S e
式 中， Φ ∈ R N s ×N m 为 受 限 于 测 量 通 道 数 N s 的 振 型 矩 为了提高 BSDA 的计算效率，贝叶斯谱分解法
借鉴了频域分解法（FDD）的思路，即通过分解的策
阵，N m 为模态阶数；S e 为预测误差的谱密度矩阵；H k
为模态响应的谱密度矩阵，矩阵中各元素由下式给出： 略减少优化求解的参数个数。对 S( f k )进行奇异值分
ˆ
S ij
H k (i, j) = 2 （6） 解（SVD），可得：
2
(β −1) −[j(2β ik ζ i )] 2 ˆ H
ik
式中,S i 为第 i 阶模态力和第 j 阶模态力之间的互功 S( f k ) = U k Λ k U k （12）
j
式中，“ H”表示共轭转置。由文献 [8] 可知，式 (12)
；
率 谱 密 度； β i 为 频 率 比 ， β ik = f i /f k f i 和 分 别 为 第
k
ζ i
可写作如下形式：
i 阶模态的固有频率和阻尼比。
∗
∗
∗
∑ ( d r ϕ ϕ T d ϕ ϕ T )
ˆ
假设在共振频带范围内，结构响应仅由单一模 S(i2πf k ) = r r + r r r =
i2πf k −λ r −i2πf k −λ ∗ r
r∈Sub(f k )
态主导，则可使用频带 Γ = k 1 ∆ f,k 2 ∆f 中的谱密度集 [ ]
[
]
{ } d r T
ˆ
S Γ = S( f k ),k = k 1 ,k 2 用于模态参数识别。可用 θ表示 ϕ diag 2Re( ) ϕ r （13）
∗
r
i2πf k −λ r
待识别的模态参数——频率、阻尼比、模态振型以 式中， d r 为一个实数； λ r 为第 r 阶的极点； ϕ 为第 r 阶
r
及模态力的谱密度矩阵和预测误差所组成的集合， 的振型；i 表示虚数单位。在结构自振频率位置处，
则可假设给定谱密度集 S Γ 关于 θ的后验概率密度函 S( f k )存 在 一 个 峰 值 ， 此 峰 值 对 应 的 频 率 即 为 第
ˆ
r
数 p(θ ˆ k 1 ,k 2 )与似然函数 p(S ˆ k 1 ,k 2 |θ)成正比：
S

阶的自振频率，此时式 (12) 中的第一个奇异值 λ r =

S

√
（
p(θ ˆ k 1 ,k 2 ) ∝ p(S ˆ k 1 ,k 2 |θ) ≃ −2πζ r f r +i 1−2πζ f r ζ r 和 f r 分别为第 r 阶阻尼比和频
2
r
k 2 ∏ ˆ M−N s

S(f k ) 率），而对应的奇异向量即为第 r 阶振型。所以，由
c 1 M ×
|S( f k )| 式 (12) 和 (13) 可知，经奇异值分解后的输出变量中，
k=k 1
ˆ
ˆ
−1
H
exp(−Mtr[S ( f k )S( f k )]) （7） U k 为包含 S( f k )奇异向量的正交矩阵 ( U k U k = I，I 为

式中，c 1 为常数，频带范围为 f k 1 ∼ f k 2 。 p(θ ˆ k 1 ,k 2 )可以 单位矩阵)，含有模态振型这一空间参数的信息，而

S
写作“负对数似然函数” L(θ)的形式： Λ k 为储存相应奇异值的对角矩阵，包含了频率和阻
尼比等频谱参数信息。
S
p(θ ˆ k 1 ,k 2 ) ∝ exp[−L(θ)] （8）

因此，在第一层分解域，首先分别识别每一阶模
式中
态的模态参数。在第二层分解域，将待识别的模态
k 2 ∑[
]
−1
ˆ
L(θ) = M lln|S(f k )|+tr[S ( f k )S( f k )] +c 2 （9） 参数划分为两组：频谱参数和空间参数，并分别进行
k=k 1
识别。待识别的频谱参数包括频率和阻尼比等，待
ˆ
式中，c 2 为常数。 θ的最佳估计 θ可以通过求解目标
识别的空间参数即为振型。
函数 L(θ)的最小值得到。此外，在数据量足够大时，
对于易分离模态的结构动力系统，假设在共振频
ˆ
θ的 后 验 PDF 可 以 通 过 均 值 为 θ和 协 方 差 矩 阵 为
率带内，响应由单个模态主导，并且仅以该频带内的
ˆ
−1 ˆ
−1 ˆ
H (θ)的 高 斯 分 布 近 似 ， 其 中 H (θ)表 示 L(θ)在 θ处
谱密度数据集进行模态识别，则可以令 Ω j 表示第 j 阶
的 Hessian 矩阵的逆。将 L(θ)在 θ处按照二阶泰勒级
ˆ
模态频率的邻域集合，则式 (5) 中 S( f k )(k ∈ Ω j )可写为：
数展开，可得：
T （14）
1 S( f k ) = α k ϕϕ +S e
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
L(θ) ≈ L(θ)+ J(θ)(θ −θ)+ (θ −θ) H(θ)(θ −θ) （10） 式中， ϕ为第 j 个模态的模态振型（后文将模态阶数 j 略
ˆ T
2
ˆ
ˆ
式中,第一项为常数，第二项中 J(θ)为 L(θ)在 θ处的雅 去）； α k 为主导模态响应对应的功率谱密度，可表示为：