Page 64 - 《振动工程学报》2026年第2期

380 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

 
1   1 n ∑   覆盖所有需要识别的局部节点自由度，而 φ r,i 的组成
p(D|θ,σ) = exp   − (y(x i )−y(x i ,θ))  ；
2

2 π/2
(2πσ )  2σ 2  部分 φ r 仅限于测量的节点自由度。使用贝叶斯方法
i=1
ˆ
i = 1,2,··· ,n 确定归一化参数，对 φ r,i 和 ψ r,i 进行归一化处理。
（9） 对于第 i个节点的局部振型 φ r,i ，近似为高斯分
( )
式中，σ 为似然分布中的一个超参数。使用不同节点 布，局部节点振型似然函数 p D|φ r,i ,σ ˆ ψ r,i 与整体装配
(
{x 1 ,x 2 ,…,x n }的不确定性参数来推断{y 1 ,y 2 ,…,y n }，从而 结构振型似然函数 p D|ψ r,i ,σ ˆ ψ r,i ) 的关系为：
ˆ
独立收集 n 种不同的动力学响应。 ( ˆ )

p φ r,i |ψ r,i ,σ ˆ ψ r,i =
   T  
2.2 贝叶斯振型组装算法   1 φ r,i  ( ) φ r,i 








ˆ 

ˆ 
exp−  −ψ r,i σ −1   −ψ r,i （12）




ˆ ψ r,i 
   
2 φ r,i φ r,i
贝叶斯方法仅能对单一状态下螺栓接触界面的
式中， 是在整体振型似然分布中的一个超参数
不 确 定 性 参 数 进 行 识 别， 因 此 对 于 不 同 螺 栓 预 紧 σ ˆ ψ r,i
矩阵。
力、外部载荷和几何特征状态下的螺栓连接结构，
由此建立了整体装配结构振型与有限元局部节
先采用贝叶斯振型组装算法，组装不同状态下螺栓
点振型的关系，因不同节点的不确定性参数是相互
连接结构动力学有限元模型的局部振型，得到连接
独立的，且数据集是独立收集的。假设从不同节点
结构整体振型，再利用贝叶斯方法辨识组装后的整
体振型，得到不同状态下的螺栓连接结构接触界面 中识别出的局部振型在统计上是独立的，在给定螺
不确定性参数的分布。 栓连接结构全局振型的情况下更新节点局部振型，
如图 3 所示，将螺栓连接结构有限元节点进行 更新后的概率分布为：
分组，分为多组节点，每组节点内又有不同的自由度 p(φ r |D) = p(φ r ) p(D|φ r ) =
分布，分别用贝叶斯公式识别。p(θ|D) 描述了结构整 n t ∏ ( )
ˆ
p(φ r ) p ψ r,i ,σ ˆ ψ r,i |φ r,i （13）
体参数分布和后验概率，这些节点组之间通过不同 i=1
状态下的公共参考自由度进行关联与测量，每个分 在使用非信息性先验的情况下， p(φ r |D)可以用
组节点的后验概率 p(θ p |D) 可以通过积分方程得到， 负对数似然函数 (NLLF) 的形式写成：
其中 θ p 是局部节点不确定性参数之一， θ p = k 1 或者 p(φ r |D) ∝ exp(−L a (φ r )) （14）
θ p = k 2 。 其中，

节点组01 … 节点组i … 节点组n 1 n t ∑ ( L i φ r )T ( ) ( L i φ r )
ˆ
ˆ
L a = −ψ r,i σ −1 −ψ r,i
2 ||L i φ r || ˆ ψ r,i ||L i φ r ||
i=1
令上式中 φ r φ r = 1，确定最优 φ r 及最小化上式的
T
约束条件，辨识得到节点局部振型中的不确定性参
数分布。通过贝叶斯方法，辨识振型组装算法中不
参考自由度

同局部振型的参数分布，得到接触界面不确定性参
图 3 螺栓连接梁的振型组装结构
数的分布情况，从而建立螺栓连接接触界面不确定
Fig. 3 Mode shape assembly of bolted beams

性参数分布与振型分布之间的联系。

根据振型组装后的结构，使用贝叶斯方法辨识
螺纹结合区域每个节点不确定性参数的分布情况。 2.3 不确定性参数传播分析
假设有 n t 个有限元节点，将其分为 m 组，在振动仿真
根据蒙特卡罗马尔可夫链 (MCMC) 算法 [16-17] ，对
中贝叶斯识别的节点数量设置为 n i ，可得：
螺栓连接装配结构的每个局部振型进行评估，得到
m ∑ m ∑
n t < 1+ (n i −1) = 1−m+ n i （10） 接触界面不确定参数的后验概率样本。通过贝叶斯
i=1 i=1 方法和所得不确定性参数分布与振型分布之间的联
由于每个节点中至少有 1 个自由度与其他节点
系，辨识螺栓连接接触界面的不确定性参数分布。
共享，对于每组节点，通过贝叶斯方法独立辨识局部
基于蒙特卡罗采样技术，螺栓连接接触界面的
节点参数分布。
不确定性参数分布通过有限元模型传播，不确定性
通过振型组装算法确定最适合识别的对应模型
传播过程如图 4 所示。在每次蒙特卡罗迭代过程
ˆ
的全局振型。局部振型 φ r,i 与全局振型 ψ r,i 的关系为：
中，每个有影响的参数都被分配一个值（使用图 4 左
∑
ˆ
ψ r,i = φ r,i = L i φ r （11） 侧的实心圆描绘），从它们的后验分布中采样并与模
式中， L i ∈ R n i ×n i 是一个选择矩阵，如果第 i个节点对应 型的仿真结果进行对比，得到参数的分布情况。通
了第 q个自由度，则 L i (p,q) = 1，否则 L i = 0。 φ r,i ∈ R n i 过多次迭代识别，得到螺栓连接接触界面的不确定