Page 54 - 《振动工程学报》2026年第2期

370 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

1.2 等效单元建模理论 1.3 建模参数

等效单元选取一阶杆单元，使用线性插值方法 本文采用杆单元弹性模量 E、接触面距离 h 及单
计算单元内部位移，并由此计算应变和应力。 元长度系数 α 等建模参数进行参数化表征：
考虑整体坐标系 OXYZ 内总长为 l、横截面积为 (1) 弹性模量 E 对接触传力特性有较大影响。弹
A 的一阶杆单元，其两个节点分别称为节点 1 和 2， 性模量过小，则两接触面相对位移较大，出现类似接
相应的节点坐标定义为 (X 1 ，Y 1 ，Z 1 ) 和 (X 2 ，Y 2 ，Z 2 )，节 触面穿透现象；弹性模量过大，则对结构约束作用过
e
T
点位移向量定义为 Q =[U 1 V 1 W 1 U 2 V 2 W 2 ] ，建立局部 强，难以准确反映变形情况；
一维坐标系 ox，x 轴与杆单元的轴线重合，原点位于 (2) 接触面距离 h 对接触性能表征有重要影响。
节点 1 处，正方向指向节点 2，在该局部坐标系下，节 h 会直接影响杆单元倾斜程度，进而影响法向传力作
点位移向量记为 q =[u 1 u 2 ] 。对于单元上距离节点 1 用。h 过小则杆单元难以传递接触力，过大则在非接
T
e
为 x 的某一点，定义局部坐标 ξ=x/l，则该点位移向量 触区域作用过强；
e
q (ξ) 可由线性插值确定，如下式所示： (3) 单元长度系数 α 是用于控制杆单元生成的参
[ ] 数，仅当杆单元长度 l 满足 l≤αh 方可生成。α 过小
e
q (ξ) = 1−ξ ξ q e （1）
则杆单元不足，无法传递足够接触力，过大则接触作
该点应变 ε(ξ) 可由下式得到：
用过强。
e
dq (ξ) [ 1 1 ]
ε(ξ) = = − q e （2）
dx l l 1.4 参数识别
故单元各处应变相等，与坐标参数 ξ 无关，下文
记为 ε。对于弹性模量为 E 的材料，其应力 σ=Eε。 以接触非线性模型分析结果作为参数识别基
基于虚功原理，可得在局部坐标系下单元刚度 准。在有限元理论中基本量为节点位移，而应变、
矩阵 k 为： 应力等其他量均以位移为基础并结合材料参数计算
e
EA EA 得到，因此以位移作为表征参数。选取结构变形量
 
 
 − 
   
e  l l   （3） 较大区域作为关注区域，将三向位移按照编号顺序

k =    
 EA
 EA  
 
− 组装为向量 u exact ，将等效模型计算结果组装为向量
l l
类似地，局部坐标系下单元质量矩阵 m 为： u equal ，进行相关性分析，定义适应度函数为：
e
[ ]
1/3 1/6 u exact ·u equal （8）
e
m = ρAl （4） F (E,h,α) =

1/6 1/3 u exact ·u equal
式中，ρ 为材料密度。 F(E, h, α) 的取值范围为 [−1,1]，当取值为 1 时，两向
对于整体坐标系 OXYZ 下单元刚度矩阵 K 与单 量相似度最高，故选取式 (8) 趋近于 1 为优化目标。
e
元质量矩阵 M ，需采用坐标变换方法，由局部坐标 本文选用全局优化能力较强的粒子群优化算法
e
系单元刚度与质量矩阵转换而来。杆单元轴线在整 (particle swarm optimization，PSO) 对等效建模参数进
体坐标系中的方向余弦为： 行识别，该方法采用随机粒子模仿鸟群觅食行为，在
 优化空间中不断搜索，所有粒子共享信息并根据搜
X 2 − X 1
cos(X, x) =



 l 索结果改变各自速度方向，逐渐趋近于最优目标。



 Y 2 −Y 1 （5）
cos(Y,y) = [35-36]
 粒子群优化算法相比于遗传算法 等其他优化算
 l


 Z 2 −Z 1

cos(Z,z) = 法，具有收敛速度快、鲁棒性好等优势，适合作为等

l
e
定义坐标系转换矩阵 T，满足 q =TQ ，则有： 效建模参数识别方法。
e
T 粒子群优化算法速度更新公式和建模参数更新
cos(X, x) 0 

 
 
 cos(Y,y) 0   公式分别为：

 
 
 
cos(Z,z) 0  
  ( )

T =       （6） v i (t +1) =ωv i (t)+c 1 r 1 x pbesti − x i (t) +
 0 
 cos(X, x)
  ( )
 
  （9）
  c 2 r 2 x gbest − x i (t)
 0 cos(Y,y) 
 
 
 
0 cos(Z,z)
x i (t +1) = x i (t)+v i (t +1) （10）
e
e
将 q =TQ 代入虚功原理，可得整体坐标系下单 式中，v i (t) 和 v i (t+1) 表示第 i 个粒子在 t 时刻和 t+1 时
元刚度与质量矩阵： 刻的速度向量；x i (t) 和 x i (t+1) 表示第 i 个粒子在 t 时
e
e
e
e
K = T k T, M = T m T （7） 刻和 t+1 时 刻 的 建 模 参 数 向 量 ； ω 表 示 惯 性 因 子 ；
T
T
在等效模型分析中，将单元刚度与质量矩阵整 c 1 表 示 自 私 因 子 ； c 2 表 示 社 会 因 子 ； r 1 和 r 2 为 区 间
合至总体刚度与质量矩阵中，实现等效接触建模。 [0，1] 内的随机数，用于增加搜索随机性；x pbest 表示
i