Page 40 - 《振动工程学报》2026年第2期

356 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

特征正交多项式； m t 和 为实际计算时截取的这两 ∆W A 1 = W 1 (0,y a ) = 0，
n t
类特征正交多项式的数目； A (R i ) 和 A (L i ) 为待定系数； ∆W B 1 = W 1 (0,y b ) = 0，
mn
mn
= W i (0,y a )−W i−1 (a,y a ) = 0，
(i)
ψ (ξ) ∆W A i
(i) l
φ (ξ) = √ ；i = 1,2,··· ,N;l = 1,2,··· = W i (0,y b )−W i−1 (a,y b ) = 0 （9）
l ∆W B i
r ( ) 2
ψ (ξ) dξ
a 1 (i)
a 0 l 根 据图 1， 天 线 基 板 上 任 一 点 P i 在 坐 标 系 O i -
（5）
x i y i z i 及 O-xyz中的位置矢量可以表示为：
表 示 某 基 板 在 ξ轴 向 上 的 特 征 正 交 多 项 式 。 其 中 ，  
  ∂w(x i ,y i ,t)  
ψ l (ξ)（ 其 中 a 0 ⩽ ξ ⩽ a 1 ） 可 基 于 Gram-Schmidt 算 法 [30]  x i −z i   


  ∂x i  
   
通过如下递推关系进行求解： r o i P i = r o i P 0 i + r P 0 i P i =    ∂w(x i ,y i ,t)  ；i = 1,2,··· ,N


 y i −z i 
 
 
  ∂y i  
(i)
(i)
ψ (ξ) = (ξ − B 1 )ψ (ξ)，  
2 1 z i +w(x i ,y i ,t)
(i)
ψ (i) (ξ) = (ξ − B l )ψ (ξ)−C l ψ (i) (ξ),l ⩾ 2 （6） （10）
l−1
l
l+1
 
式中，    r 0 +a(i−1)+ x i −z i ∂w(x i ,y i ,t)   
   
 ∂x i 
 
w w    
a 1 2 a 1 (i) (i) r oP i = r oo i + A o i o r o i P i =   ∂w(x i ,y i ,t)  
ξψ (ξ)dξ ξψ (ξ)ψ (ξ)dξ   y i −z i  
l l−1 l    
a 0 a 0 （7）   ∂y i  
B l = w ,C l = w  
a 1 (i) 2 a 1 (i) 2 z i +w(x i ,y i ,t)
(ψ ) (ξ)dξ (ψ ) (ξ)dξ
l l−1
a 0 a 0 i = 1,2,··· ,N （11）
[ ] T
式中，特征多项式簇的首项由基板的积分区域以及 式 中， r oo i = r 0 +a(i−1) 0 0 。 则 点 P i 在 O 0 -x 0 y 0 z 0
边界条件确定，根据天线基板的结构，特征多项式簇 中的矢径与速度可以表示为：
的首项具体可根据表 2 进行确定。 r
r P i = r 0 + A oo 0 oP i

˙ r ˙ r （12）
表 2 特征多项式首项 v P i = ˙r P i = ˙r o + A oo 0 oP i + A oo 0 oP i
Tab. 2 The first term of characteristic orthogonal polynomials 因此，大天线卫星的动能可以表示为：

正交多项式 积分区域 首项 1 N ∑w T 1 N ∑w T
T = ρ v v P R i dV + ρ v v P L i dV+
φ m (x i ) 0 ⩽ x i ⩽ a 1 2 i=1 V R i P R i 2 i=1 V L i P L i
φ n (y i ) 0 ⩽ y i ⩽ b 1 1 ( 2 2 2 ) 1 T
o
o
m R ˙x + ˙y + ˙z + ω J R ω （13）
o
2 2
为便于建模，对系统作如下假设： 式中， ρ和 m R 分别为基板密度以及中心刚体的质量；
（1）将天线的每块基板看作是一个各向同性的 x o y o z o 为点 O在惯性系中的坐标； J R 表示中心刚
、
、
柔性矩形薄板； 体的主惯量矩矩阵：
（2）将柔性铰简化为附加扭转弹簧的铰链，忽略  0 
 J x 0 
   
扭转弹簧的质量、尺寸、阻尼和摩擦；天线处于完全 J R =  0 J y 0    （14）


  0 0  
展开状态，铰链是锁定的； J z
x y和
、
式中， J x J y 以及 分别为中心刚体在 、 z轴方向
（3）只考虑天线的横向振动，忽略面内振动。 J z
的转动惯量。卫星在惯性系下的角速度为：
由几何关系，铰链扭转弹簧的转角应等于与两
    ˙ 
块相邻基板连接处转角差。因此首先需分析相邻基  ω x    cosθ y 0 −cosθ x sinθ y θ x   







ω =  ω y  =  0 1 sinθ x  ˙ θ y  （15）











板间的两个铰链的相对转角。根据几何关系：           


ω z sinθ y 0 cosθ x cosθ y ˙ θ z

大天线卫星的势能包含两部分，分别为天线的
∂W 1 ∂W 1
= =
∆θ A 1 x 1 = 0 ,∆θ B 1 x 1 = 0
∂x 1 ∂x 1 应变能和铰链的弹性势能，可以表达为：
y 1 = y a y 1 = y b  2 2
 2 2 2  2
N ∑ D w w 
a
b ∂ w R i  ∂ w R i ∂ w R i ∂ w R i 




∂W i ∂W i−1 U=  2  +2v +   2  +



= − ；i = 2,3,··· ,N  2 2 
∆θ A i x i = 0 x i−1 = a 2 0 −b  ∂x ∂x ∂y ∂y
∂x i ∂x i−1 i=1 R i R i R i R i
 2 
y i−1 = y a 2
y i = y a 
 
  ∂ w R i  

 
2(1−v)   dx R i dy R i +
 
∂W i ∂W i−1 
= − ；i = 2,3,··· ,N ∂x R i ∂y R i
∆θ B i x i = 0 x i−1 = a
∂x i ∂x i−1 
 2 2 2 2  2 2
0
N ∑ w w 
y i = y b y i−1 = y b （8） D b ∂ w L i   ∂ w L i ∂ w L i ∂ w L i  





 2  +2v +   2  +

2 −a −b  ∂x ∂x 2 ∂y 2 ∂y

式中，a 为基板沿 x轴向上的长度； b为基板沿 y轴向 i=1 L i  L i L i L i
 2 2 
上的长度； b 0 为同一基板两个铰链沿 y轴方向的距  ∂ w L i  
 


 
2(1−v)    dy L i +
 dx L i

离， 且 y a = (b−b 0 )/2 y b = (b+b 0 )/2。 同 时 由 于 铰 链 ∂x L i ∂y L i
，
约束，要求相邻基板间不存在相对平动位移，因此有 N ∑ 1 kθ 2 + N ∑ 1 kθ 2 + N ∑ 1 kθ 2 + N ∑ 1 kθ （16）
2
2 A R i 2 B R i 2 A L i 2 B L i
如下约束条件： i=1 i=1 i=1 i=1