Page 258 - 《振动工程学报》2026年第2期

574 振 动 工 程 学 报 第 39 卷

此外，小波变换具有从时频图中重构出原始信 方法参数选择的目标函数 [21] 。该方法计算不同参数
号的能力，如下式所示： 下时频图的 Rényi 熵，比较 Rényi 熵数值，选择具有
w
[ ]
∞ 最小目标函数值的参数集作为最优参数。
x r (t) = Re C −1 W x (t, s) s −3/2 ds （6）
ψ
0
r Rényi 熵的计算公式为：
式中， C ψ = ∞ b ψ s (ξ)ξ dξ，其中， b ψ s 为 Morlet 小波的傅  r r 
−1
α
0 1  |T(t, f)| dtd f 
α

里叶变换，ξ 为频域积分变量。 R = log  r r     （8）

T
1−α 2  |T(t, f)|dtd f
将式 (4) 代入式 (6)，得到： 式中， α = 3为 Rényi 熵的阶数 [22] ； T(t, f)为使用时频
[ w ]
∞ −1/2
x r (t) = Re C −1 W x (t, f)·( f · f c ) df （7） 分析方法得到的能量系数。
ψ
0
式 (7) 表明，重构信号依赖小波变换结果，即重 利用 Rényi 熵作为目标函数进行 Morlet 小波参
构信号同样受到 Morlet 小波参数影响。对不同参数 数选择的优化问题可以用下式描述：
( r r
( α ))
的时频图进行重构，结果如图 5 所示。 Obj = argmin 1 log r r |T (t, f)| dtdf （9）
1 f b ,f c 1−α 2 |T (t, f)|dtdf

重构信号 原始信号 该优化问题存在两个参数，遍历搜索的方法并
10
幅值A / (mm·s −2 ) −5 5 0 不可行。因此，引入群智能优化算法进行参数优化。
MSE=1.04

2.3 改进的混合天鹰-非洲秃鹫优化算法
−10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 改进的混合天鹰-非洲秃鹫优化算法（improved
时间t / s hybrid aquila optimizer and African vultures optimization
(a) f c =1, f b =10的结果
(a) The result when f c =1, f b =10 algorithm，IHAOAVOA） [23] 是一种启发式的群智能优
和非洲
化算法，该算法同时结合天鹰的捕食行为
[24]
20
幅值A / (mm·s −2 ) −10 0 MSE=9.90 秃鹫的觅食行为 [25] ，是应对优化问题的一种强大工
10
具有优
具
[26]
。与传统的优化算法相比，IHAOAVOA
−20
之 前 ， 必 须 定 义 种 群 大 小
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 秀的求解精度、收敛速度以及全局搜索能力 [23] 。 M，
使用
IHAOAVOA
时间t / s
(b) f c =0.1, f b =0.1的结果 并 利 用 目 标 函 数 计 算 初 始 位 置 的 适 应 度 值， 以 对
(b) The result when f c =0.1, f b =0.1 IHAOAVOA 进行初始化。种群个体位置即为优化
4
幅值A / (mm·s −2 ) −2 2 0 程选择最优和次优解：
MSE=0.13
问题的可行解。在每一次迭代中，算法通过以下方

OS ，rand > 0.2


 S S ，其他
−4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 V(g) =  （10）
时间t / s 式中，V(g) 表示第 g 次迭代的种群首领；OS 和 SS 分
(c) f c =1, f b =1的结果
(c) The result when f c =1, f b =1 别为当前迭代的最优解和次优解；rand 表示取值范
围为 [0, 1] 的随机值。

图 5 不同参数下的小波变换重构结果
在搜索过程中，部分个体会远离最优解的位置，
Fig. 5 MWT reconstructed results under different parameters
导致搜索过程变慢。因此，使用以下公式计算每个
受海森堡不确定性原理约束，若时间分辨率或 个体的反向位置：
lb+ub
频率分辨率过高，从时频图中重构得到的信号与原  lb+ub P i

]  2 + k − k ，rand < 0.5 （11）

信号会存在明显的误差。这种误差可以通过均方误 P COBL = 


 lb+ub−rand · P i ，其他
差（mean square error，MSE）进行量化，如图 5 所示。
式中， ub和 lb分别为搜索边界的上限和下限； k为一
随着均方误差逼近于零，重构信号表现出与原始信
个距离系数； P i 表示第 i个个体目前的位置，即可行
号更高程度的相似性，反映出更好的重构能力。由
]
]
解， P COBL 为它的反向位置。比较 P i 与 P COBL 的适应度
此可见，小波变换的参数选择同时影响时频表示和
值，选取具有最优适应度值的解作为该个体的当前
重构结果的精度。
位置。

2.2 Rényi 熵 正如前文所述，IHAOAVOA 模拟天鹰捕食和秃
鹫觅食行为，它们的饥饿程度可以表示为：
Rényi 熵一直被视为衡量时频图中能量集中程 ( g )
F i (g) = (2·rand +1)·r 1 · 1− +qt （12）
度的指标 [20] 。因此，学者们将其用作引导时频分析 G