Page 257 - 《振动工程学报》2026年第2期

第 2 期 余焱江，等：融合相关基尼指数与优化 Morlet 小波的柔性薄壁椭圆轴承故障特征提取方法 573

幅值A / (mm·s −2 ) −2 2 0 W x (t, s) = √ s w −∞ ∞ e j2πfc τ − 2f 2 s 2 （3）
4 将式 (2) 代入式 (1)，得到连续 Morlet 小波变换：
τ 2
1
s e
b x(t −τ)dτ
−4
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 式中，τ 为时间积分变量，表示时间延迟。
s 与频率
f 存在如下关系：
尺度
时间t / s
f 0 2f 0 4f 0 6f 0 8f 0 10f 0 f 0 =67.19 Hz f = f c （4）
0.8
幅值A / (mm·s −2 ) 0.6 式（1）~（3）可以改写为： s
0.4
√
0.2
τ 2 f 2
b c
0
0 500 1000 1500 2000 W x (t, f) = f w e j2πτf e − 2f 2 f 2 x(t −τ)dτ （5）
f c
R
频率f / Hz

式（5）表明，执行小波变换之前需要输入 f c 和 f b
图 3 健康的柔性薄壁椭圆轴承振动信号及其频谱
两个参数，而这两个参数选择恰当与否会影响小波
Fig. 3 Vibration signal and its spectrum of the healthy flexible
变换结果的时频分辨率。为了说明这种影响，采集
thin-wall elliptical bearing
健康柔性薄壁椭圆轴承的振动信号，应用小波变换
2 倍。结合柔性薄壁椭圆轴承的振动特性 [16] ，在轴承
进 行 分 析 。 小 波 变 换 的 参 数 分 别 设 置 为： （ 1） f c =
工作一圈中，内圈椭圆的长轴会经过加速度传感器
1， f b = 10；（2） f c = 0.1， f b = 0.1；（3） f c = 1， f b = 1；得
两次，产生两个冲击；内圈椭圆的短轴也会经过加速
到结果如图 4 所示。可以看出，选取不同参数进行
度传感器两次，产生两个冲击。由长、短轴产生的
小波变换得到的时频图具有不同的时频分辨率。由
冲击具有相同的周期，但是冲击方向不同。这是正
于参数选取不恰当，图 4(a) 与图 4(b) 分别呈现现出
常周期性冲击频率为旋转频率 2 倍的原因。
较高的频率分辨率与时间分辨率，只有最后一组参
正常周期性冲击的存在，导致柔性薄壁椭圆轴
数得到的时频表示在时间分辨率和频率分辨率之间
承与普通滚动轴承的故障诊断有所不同：普通滚动
达到了较好平衡，如图 4(c) 所示。然而，在不同的工
轴承在没有受损、正常工作下是平稳运行的，只有
况下，需要进行耗时长、复杂的人为参数调整才能
在存在故障点的情况下才会产生周期性冲击，因此
够实现良好的时频分辨率。
对于普通滚动轴承的故障诊断可以将研究重心放在

冲击的检测上；而对于柔性薄壁椭圆轴承，信号中同 6000 Rényi熵=20.77
时存在着由轴承长短轴产生的正常周期性冲击和由 4000
故障产生的故障周期性冲击。此时，正常周期性冲 频率f / Hz 2000
击成为了噪声，需要从振动信号中提取出因故障产
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
生的周期性冲击才能进行正确的故障诊断。
时间t / s

(a) f c =1, f b =10的结果
(a) The result when f c =1, f b =10
2 理 论 基 础
6000 Rényi熵=22.14

频率f / Hz 2000
2.1 Morlet 小波参数选择分析 4000
小波变换定义为信号 x(t)与尺度为 s的小波函数
0
ψ s (t)的卷积 [12] ： 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
时间t / s
x(t)∗ψ s (t) (b) f c =0.1, f b =0.1的结果
W x (t, s) = √ （1） (b) The result when f c =0.1, f b =0.1
s
式中，“ ∗”表示卷积运算； s为尺度； ψ s (t)表示尺度 s下 6000 Rényi熵=21.03
的小波函数。 频率f / Hz 4000
由于其迅速衰减和调制的脉冲波形，Morlet 小波 2000
在轴承故障诊断中被广泛应用。在尺度 s下，Morlet 0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
小波的定义如下： 时间t / s
(c) f c =1, f b =1的结果
t 2
j2πfc t − 2f 2 s 2 (c) The result when f c =1, f b =1
ψ s (t) = e s e b （2）

式中，j 为虚数单位； f c 为小波的中心频率， 为小波 图 4 不同参数下的小波变换结果
f b
的带宽，二者均为无量纲参数。 Fig. 4 MWT results under different parameters