Page 22 - 《振动工程学报》2025年第11期

2480 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

辆间的钩缓连接近似为弹簧系统 [15, 30] ；制动、缓解时 频率； ξ为系统阻尼比； τ为时间积分变量。
不同制动缸的升压、降压曲线相同，制动缓解波传 对于制动力 F Bi ，此处考虑空气制动系统中的关
播速度为常数，摩擦系数为常数。 键因素，即升压特性和制动波传播特性。在升压时
一般对于长大列车，建立其列车纵向多质点方 间 T c ，外加激励幅值 F 0 时，制动缸压力 F p 按指数函数
程式： 近似为关系式：
( )
（12） F p = F 0 · 1−e −t/T c （19）
m i ¨y i = F ci−1 − F ci − F wi + F TEi − F DBi − F Bi
式 中， ¨ y i 为 第 i辆 车 的 加 速 度 ； m i 为 第 i辆 车 的 质 量 ； 此时，根据式 (17) 振动方程有解析解式：
F ci 为第 i辆车的后车钩力（其中 F c0 表示第 1 辆车的前 [ (ω ) ·T 2 ]
′ 2
y = F 0 · 1− c ·e −t/T c +
′ 2
车钩力）， F c0 =0， F cn =0； F wi 为第 i辆车的总运行阻力， 1+(ω ) ·T c 2
√
包括等效运行阻力、坡道阻力、曲线阻力、起动阻力 [ ′ ] 2 [ ′ ] 2
ω ·T c ω ·T c
+ y 0 + ·sin(ω ·t +α)
′
等； F TEi 为牵引力，仅作用于机车； F DBi 为动力制动 1+(ω ) ·T c 2 1+(ω ) ·T c 2
′ 2
′ 2
力，仅作用于机车； F Bi 为第 i辆车的空气制动力。 （20）
此处将钩缓模型近似为弹簧系统，假设各车连 列车纵向力简化计算方法由于在钩缓模型、空
接刚度近似为线性刚度 k i 和比例阻尼 ，以避免复杂 气制动系统模型、阻力模型、编组形式和方程转化
c i
度较高的不平衡力迭代计算： 等方面做了较多近似，从而求得振动方程的解析解，
因此在牺牲部分求解精度的前提下极大地提高了纵
F ci = k i (y i −y i+1 )+c i (˙y i − ˙y i+1 ) （13）
向力求解速度。
代入列车纵向动力学方程，可得矩阵形式：

 M¨ y+C˙ y+ Ky = F
 3 长 大 下 坡 区 段 算 例 分 析

 （14）
 y| t=0 = y 0



˙ y| t=0 = ˙y 0
式中， y 0 和 分别为位移和速度初值。进一步可将方 长大下坡区段的长波浪循环制动操纵是重载线
˙ y 0
路有别于一般货运线路的重要特征 [31] ，以中国某重
程变换为下式所示的相对位移形式：
载线路的一段长大下坡实测运行数据为例，对上述
′
M ¨ u+C ˙ u+ K u = F ′ （15）
′
′
其中： 两类重载列车纵向力实时预测方法进行算例分析，
并与实际运行数据进行对比分析。
（16）
u i = y i −y i−1
对基本运行阻力系数的离线调整采用上述基本
式中， M、M 分别为转换前、后机车车辆的质量矩
′
阻力系数自适应调整方法，使用优化后的基本运行阻力
阵； K、K 分 别 为 转 换 前 、 后 系 统 的 总 刚 度 矩 阵 ；
′
系数，即 a l =1.0473， =0.0028， =0.000224， a w =0.4662，
c l
b l
F F 分别为
C、C 分别为转换前、后的阻尼矩阵； 、 ′
′
b w =0.0021， c w =0.000061。为保证实时计算效率，空气
转换前、后的外加激励； y、˙ y和¨ y分别为多质点体系
制动系统模型采用经过空气制动试验数据校准的经
各质点相对于平衡点的位移、速度和加速度向量；
验空气制动模型。
、
u u和 ¨ u分别为各车相对位移、相对速度和相对加
˙
选 取 的 线 路 全 长为 13 km（ K44+000~K57+000） ，
速度向量。 纵断面为−9‰~−12‰长大下坡，最小曲线半径为 500 m，
对方程进行正则化，可以将式 (14) 简化为单自
无电分相区段。编组参数如表 3 所示。列车操纵序
由度的振动方程式： 列 为 实 际 司 机 操 纵 序 列， 计 算 硬 件 设 备 为 Intel i7-

 M p ¨y p +C p ˙y p + K p y p = F p
 核 2.3 GHz 处理器和 内存，单线程计算。
 12700H 14 16 GB

 （17）
 y p = y p0
 t=0 峰值误差指标体现了在循环制动风险点处对车钩



˙ y p = ˙y p0
t=0
力极值模拟的准确性；RMSE 与 MAE 体现了总运行距
采用相对位移也有类似公式。中国的重载列车
离内速度与车钩力计算与实测值的平均误差；R 表示
2
编组中货车多为同一车型，质量、刚度、阻尼参数相
表 3 列车编组参数
同，忽略阻尼时，可以估计式 (17) 的第一非零频率 Tab. 3 Train marshalling parameters
√
（即第 2 阶频率），该频率近似为 f 2 = k i /m i /2N。
计算参数 参数说明
将外加激励正则化后，可以通过 Duhamel 积分求 HXD1 + C80×108辆 + HXD1 +
列车编组形式
解响应。对于施加牵引力 F TEi 、电制力 F DBi 可以通过 C80×108辆 + 可控列尾
阶跃函数模拟外加激励，对于运行阻力 F wi 通过分段 编组牵引总重 2.16万吨
线性和阶跃函数模拟，从而求解响应 y p 。 缓冲器类型 机车：QKX100胶泥缓冲器；
1 w t 车辆：MT-2摩擦缓冲器
y p = · F p e −ξω(t−τ) sinω (t −τ)dτ （18） 编组连挂形式/车钩间隙 两辆一组/9.5 mm
′
m i ω ′ 0
式中， ω为系统固有圆频率； ω 为阻尼作用下实际圆 同步控制延迟时间 3 s
′