Page 217 - 《振动工程学报》2025年第11期

第 11 期 杨斯骞，等：基于叶尖定时的低转速动叶片裂纹在线识别方法 2675

当叶片发生振动时，叶尖的摆动会导致实际到 满足以下关系：
达时间相对于理论到达时间产生超前或滞后现象， F D (x) = dF D (x)， dM D (x) = F D (x) （6）
则实际到达时刻与理论到达时刻的偏差 ∆t为： dx dx
对式 (6) 进行积分，得到剪力 F D (x) 和弯矩 M D (x)
（2）
∆t = t i,j,n − ˜ t i,j,n
的表达式：
可以测算出该时刻第 i 个叶片的瞬时振动位移为： 1 w L ρC D bω L − x 3 )
(
3
2
2
F D (x) = ρC D bω 2 x dx = （7）
d i,j,n = 2πr f n ∆t （3） 2 x 6

式 中， ω 为 动 叶 片 的 角 速 度 。 对 剪 力 F D (x) 进 行 积
分，得到弯矩 M D (x)：
2 低 转 速 下 动 叶 片 形 变 分 析
w
L 1 ( )
2
3
3
M D (x) = ρC D bω L − x dx =
x 6

2.1 理论建模分析 1 ( L 4 xL 3 x 4 )
ρC D bω 2 − + （8）
2 4 3 12
旋转叶片在运行中承受气动力、离心力及重力
同时，根据材料力学公式，叶片截面上的弯曲应
等多源载荷综合作用，其中垂直作用于叶面的气动
力 σ(x,y) 为：
力载荷对微幅振动偏移影响最为显著。基于叶片在 M D (x)·y
σ(x,y) = （9）
稳定垂直流场中的力学特性，建立以叶根为固定端 I
的悬臂梁简化模型，定义 x 轴沿叶片展向延伸，y 轴 式中，σ(x,y) 为叶片截面上 y 处的弯曲应力；y 为距中
与旋转切向一致的直角坐标系，如图 2 所示。该模 性轴的距离；I 为截面的惯性矩，矩形截面积惯性矩为：
型将流固耦合作用下叶片的动力学响应问题简化为 I = 1 bh 3 （10）
梁结构形变问题，为后续叶尖偏移量化分析奠定理 12
式中，h 为叶片厚度。
论基础。 （1）正常条件叶片的叶尖位移

y 根据以上推导结论，分析正常叶片的叶尖位移，
悬臂梁的弯曲变形满足以下关系：
q
2
d y(x) M D (x) （11）
=
dx 2 EI
x
式中，y(x) 为叶片的竖向位移；E 为材料弹性模量。
y ࡲू
对 M D (x) 积分两次即可得到叶片的变形曲线 y(x)：
x
L 1 w w x
y(x) = M D (x)dx =
EI 0 0
图 2 叶片等效悬臂梁结构 ( )
1 2 L x x L 3 x 6
4 2
3
Fig. 2 Equivalent cantilever beam structure of blade ρC D bω − + （12）
2EI 8 18 360
图 2 中，L 为悬臂梁的长度，即叶片的长度；q 为 将 x=L 代入式 (12)，健康叶片的叶尖偏移量为：
2
气动等效载荷，作用于悬臂梁上表面；y 健康 表示气动 13ρC D bω L 6
y(x) 健康 = （13）
载荷作用下的叶尖偏移量。 360EI
（2）含裂纹叶片的叶尖位移
因此，根据空气阻力的通用公式，计算叶片所受
当叶片在运行过程中出现裂纹时，会引起的惯
气动力载荷的大小为：
性矩变化，假设裂纹位于叶片的 x c 位置，其长度为 a，
1
F D = ρC D Av 2 （4）
2 宽度为 b 1 ，如图 3 所示。则裂纹处的有效惯性矩 I c 为：
式中，F D 为气动力载荷（单位：N）；ρ 为密度，标准大 1 3
I c = (b−b 1 )(h−a) （14）
气条件下 45 号钢的密度 ρ≈ 7.85 kg/m ；C D 为阻力系 12
3

数， 与 叶 片 的 形 状 和 表 面 粗 糙 度 有 关 ， 本 文 取 为 y
2
0.82；A 为叶片的迎风横截面积（单位：m ），即垂直于 q
气流方向的投影面积；v 为空气相对于叶片的流速 ਚ໕
（单位：m/s）。 x
假设以叶片根部为起点（x=0）、沿 x 轴正方向， y ਚ໕
x c
坐标最大值为叶片长度 L（即 0≤x≤L），宽度为 b，则
L
载荷函数为：
1 图 3 含裂纹叶片等效悬臂梁结构
q(x) = ρC D bv 2 （5）
2 Fig. 3 Equivalent cantilever beam structure of blade with
根据气动力载荷分布，剪力 F D (x) 和弯矩 M D (x) cracks