Page 145 - 《振动工程学报》2025年第11期

第 11 期 李鸿秋，等：融合显式 Newmark-β 法与迭代正则化的动载荷识别 2603

2.1 LSQR 算法 由 于 解 向量 F k 在 V k 的 列 张 成 的 子 空 间 中 ， 即
F k = V k q k ，混合 LSQR 算法解为：
LSQR 算法的数学本质是通过 Krylov 子空间投
( T 2 ) −1 T T
R
R
影将问题转化为双对角化形式。 F = V k q = V k B B k +λ I B U k+1 Y （24）
k
k
k
k
动载荷识别需要考虑下式最小二乘问题的解： 混合 LSQR 算法在 LSQR 算法生成的低维子空
min∥HF−Y∥ （17） 间上解决较小的正则化问题，实现了在大尺度稀疏
F∈R n
问题上进行精细正则化的目标。本文进一步提出混
基于 H 的 Lanczos 双对角化过程，获得 Krylov 子
合 LSQR 修正算法，在迭代过程中动态控制正则化
空间正交基。令 F 0 为式 (17) 的初始近似解，则残差
强度以提高解的稳定性和精度。评估混合 LSQR 算
为 r 0 = Y − HF 0 ， 对 应 第 k 步 残 差 r k = Y − HF k 。 经 过
法计算得到的某位置响应和该处的测量响应之间的
k 步 Lanczos 双对角化迭代，可以得到 2 个标准正交
化矩阵 V k = (v 1 ,v 2 ,··· ,v k ) ∈ R m×k ， U k+1 = (u 1 ,u 2 ,··· ,u k+1 ) ∈ 偏差，以修正混合 LSQR 算法求解的计算载荷。其
  解表示为：
 α 1 
 
  ( )
 
 β 2 α 2  M R R R R T
  F = F +µ∆F k = V k q +µV k ∆q k = V k q +µB U ∆Y
 
  k k k k k k+1
 
  . .  
R m×(k+1) 和一个双对角矩阵 B k =    β 3 .    ∈ （25）
   
 
 . 
 .  式中，µ为修正系数；ΔF k 为第 k 步的动载荷修正值，
 
 . α k 
 
 
 
  源自于第 k 步识别的动载荷的计算响应与测量响应
 
β k+1
R (k+1)×k ，其迭代过程可以简化为： 的偏差。
R
R
U k+1 (β 1 e 1 ) = Y， 混合 LSQR 算法得到的计算响应 Y = HF ，测量
k
k
HV k = U k+1 B k ， 响应与计算响应之间的偏差 ∆Y = Y −Y ，则：
R
k
T
T
H U k+1 = V k B +α k+1 v k+1 e T （18） m ( R ) R T
k k+1 ∆Y = Y − H F +µ∆F k = ∆Y −µU k+1 B k B U k+1 ∆Y
k
k

；
式 中， α j =
r j ;v j = r j /α j β 1 = ∥Y∥；u 1 = Y/β 1 ∈ R ； （26）
m

v 0 = 0； e i 为 单 位 矩 阵 的 第 i 列 。 若 初 始 解 F 0 = 0， 构造目标函数：

2
R
m 2
LSQR 算法近似解为 F k = V k q k 。残差 r k 可以写为： ω(µ) = ∥∆Y ∥ =
∆Y −µU k+1 B k B U T k+1 ∆Y
（27）

k
r k = Y − HF k = U k+1 (β 1 e 1 )−U k+1 B k q k = U k+1 t k+1 （19） 令 ω(µ)对µ的偏导数为零，得到：
在 k 次 迭 代 后 希 望 残 差 r k 尽 可 能 的 小 ， 由 于 ( R T ) T
U k+1 B k B U k+1 ∆Y ∆Y
k
U k+1 为标准正交矩阵，所以残差 r k 最小等价于 ∥t k+1 ∥ µ =

2 （28）

R

U k+1 B k B U T k+1 ∆Y
k
（ ∥·∥表示欧几里得范数）最小，即求解子空间上简单
将 式（ 28） 代 入 式 （ 25） ， 就 可 以 获 得 混 合 LSQR
的最小二乘问题：
修正算法的第 k 步迭代正则化解 F 。根据混合 LSQR
M

k

min∥t k+1 ∥ = ∥β 1 e 1 − B k q k ∥ =
U T

（20）
k+1 Y − B k q k 修正算法进行迭代计算，即可反演出结构的动载荷。
由于 U T Y = β 1 e 1 ，得到 LSQR 算法近似解： 混合 LSQR 修正算法载荷识别流程图如图 1 所示。
k+1

M − F
/
F
< ε， 指 定 阈 值

使 用 终 止 条 件
M
M
+
+
F k = V k q k = ∥Y∥V k B e 1 = V k B U T Y （21）
F k+1 k k
k k k+1
ε = 5×10 ，令最高迭代次数 k = 500，若 k > 500时依
−4
2.2 混合 LSQR 修正算法 旧不满足上述条件，则使用测量响应 Y 和计算响应
Y 之间的最小相对误差确定最佳迭代次数 k opt 。
R
尽管 LSQR 本身非常强大，但在处理稀疏且病态 k
综 上， 混 合 LSQR 修 正 算 法 是 在 LSQR 算 法 和
的矩阵时，LSQR 算法存在半收敛性 [23] ，需要依赖迭
Tikhonov 正则化的基础上获得的，该算法通过 LSQR
代停止准则作为隐式正则化手段，相当于将迭代次
算法将一个大规模矩阵投影到 Krylov 子空间中，并
数 k 作为正则化参数。而参数选择不当会导致解过
使用 Tikhonov 正则化求解子空间内小规模矩阵的最
度平滑或保留过多噪声。混合 LSQR 的核心目标是
小二乘问题，进而通过评估计算响应和测量响应的
将正则化过程整合到 LSQR 的迭代框架中，在其子
误差，动态调整正则化强度，获得修正解。
空间的最小二乘问题中添加 Tikhonov 正则化，可以
有效抑制干扰引起的高频振荡。混合 LSQR 算法可
以解决 LSQR 算法的半收敛性问题。将式（20）转化为： 3 仿 真 分 析
{

}
2
min
U T Y − B k q k +λ ∥q k ∥ （22）

k+1
以简支梁为例，载荷信号和加速度响应信号由
式中，λ 为通过 L 曲线准则 [24] 获得的正则化参数，则
有限元仿真分析软件 Patran 的瞬态分析获得。简支
子空间内 Tikhonov 正则化解为：
梁模型及各节点位置如图 2 所示，确定模态截断阶
( ) −1
T
2
T
R
q = B B k +λ I B U T Y （23）
k k k k+1 数，将连续系统转化为模态空间的多自由度系统，通