Page 144 - 《振动工程学报》2025年第11期

2602 振 动 工 程 学 报 第 38 卷

[ ]  
1 γ  φ 1 φ 1 ··· φ 
1
f (t i+1 ) =f(t i+1 )+ I + C q(t i )+    1 2 2 2 r  
∗
2 
β(∆t) 2 β∆t  φ 1 φ 2 ··· φ  

r 



[ ( ) ] Φ d = 0,Φ v = 0,Φ a =  . . . .     （11）
 .
1 γ  . . . . . .  


I + −1 C ˙ q(t i )+   .   
β∆t β  φ m φ m ... φ m 
[( ) ( ) ] 1 2 r
1 ∆t γ j
−1 I + −2 C ¨ q(t i )。 式中， φ (i = 1,2,··· ,r; j = 1,2,··· ,m)表示第 i 阶固有振
i
2β 2 β
型的第 j 自由度上的值。
∗ −1
式中， I为单位向量。令 A 0 = (K ) ， [ ]
[ ] 定义 Ψ = Φ d ,Φ v ,Φ a ，结合式（9）和（10）， y(t i )
1 γ
A d = A 0 I + C , 可以表示为：
β(∆t) 2 β∆t
[ ( ) ]   j  
1 γ ∑  A d A v A a   A 0  
i−1

 
A v = A 0 I + −1 C ,       ( ) （12）
 

 

β∆t β y(t i ) = Ψ  B d B v B a   B 0  f t i−j

 

   
[( ) ( ) ] j=0    
1 ∆t γ C d C v C a C 0
A a = A 0 −1 I + −2 C 。
2β 2 β 同样，根据模态叠加法获得物理空间载荷与模
式 (4) 可以重写为： 态空间模态力之间的计算公式：
   1 2 n  
q(t i+1 ) = A 0 f (t i+1 )+ A d q(t i )+ A v ˙q(t i )+ A a ¨q(t i ) （5）  f 1 (t i )   φ 1 φ 1 ··· φ  F 1 (t i ) 

      1   
      φ 1 φ 2 ··· n   


将式（5）代入式（3），获得 t i+1 时刻的模态加速度  f 2 (t i )        2 2 φ  F 2 (t i )    

2 




f (t i ) =    . .  =  . . . . . .  . .   
 .




和模态速度：    .     . . . .  .   


. 



      1 2 n   
f r (t i ) φ r φ r ... φ r F n (t i )
¨ q(t i+1 ) = C 0 f (t i+1 )+C d q(t i )+C v ˙q(t i )+C a ¨q(t i ) （6） （13）
˙ q(t i+1 ) = B 0 f (t i+1 )+ B d q(t i )+ B v ˙q(t i )+ B a ¨q(t i ) （7） 式中，n 为需要识别的载荷个数； f r (t i )和 F n (t i )分别表
式中， 示 t i 时间的第 r 阶模态力和第 n 个集中载荷。令：
1  l−1  
C 0 = A 0 ；C d = −C 0 K；C v = −C 0 (C+∆tK)；  A d A v A a    A 0  


β(∆t) 2       B 0  ; l = 1,2,··· ,z （14）




H l = Ψ B d B v B a      
[ ( ) ]      
1    
2
C a = C 0 (γ −1)∆tC−β(∆t) −1 K ； C d C v C a C 0
2β 式中，z 表示时间点的个数。将式（12）简化为：
γ ∗ −1
B 0 = (K ) ；B d = −B 0 K；
β∆t Y = HF （15）
[( ) ]
β∆t 1
B v = B 0 −∆t K + I ； 式中，
γ γ∆t  
[( 2 2 ) ( ) ]
β(∆t) (∆t) 1  0 ···  ˙ y(t 1 )  
B a = B 0 − K + −1 I 。 H 1                  ¨ y(t 1 ) F 1 (t i )    
γ 2 γ          H 2 H 1 ··· 0 .         
.
. . . 0                  y(t 1 )                                  . 。
.
.
将式（5）和式（6）、（7）结合，获得系统在 t i+1 时刻 H =         . . . . . . . . ；F =         F 2 (t i )           
.
y(t m )
与 t i 时刻之间的模态响应关系式： H z H z−1 ··· H 1 ˙ y(t m ) F n (t i )
. ；Y =                
¨ y(t m )
      
 q(t i+1 )   A 0   A d A v A a  q(t i ) 
      
      
      
      


 ˙ q(t i+1 )  =  B 0  f (t i+1 ) +  B d B v B a  ˙q(t i )  因此：
    
      
      
¨ q(t i+1 ) C 0 C d C v C a ¨ q(t i )
（8） F = H Y （16）
+
T
T
由于 [q(t i+1 ) , ˙q(t i+1 ) , ¨q(t i+1 )] 和 [q(t i ) , ˙q(t i ) , ¨q(t i )] 为 需要指出，为了保证上述计算，响应个数 m 应该
线性关系，且在零初始响应状态下， [q(t 0 ) , ˙q(t 0 ) , ¨q(t 0 )] T 大于等于模态截断阶数 r，模态截断阶数 r 应大于等
为０，根据递推关系，式（8）可写为： 于载荷识别个数 n，即 m ⩾ r ⩾ n，式 (16) 方程组有解。
    j  
 q(t i )  i−1  A d A v A a   A 0  如果响应为位移或者速度，载荷识别的过程类似。
  ∑   
      ( )
     
 ˙q(t i )  =   B d     （9）


 
   B v B a   B 0  f t i−j
     
     
¨ q(t i ) j=0 C d C v C a C 0
2 混 合 LSQR 修 正 正 则 化 算 法
设系统输出响应在物理空间与模态空间之间有
转换关系：
上文中使用显式 Newmark-β 算法确立载荷与响
 
 q 
[ ]      应之间的映射关系，实现动载荷识别。但是当求解
y = Φ d Φ v Φ a   ˙q   （10）
   
 
¨ q 复杂系统时，由于矩阵 H 的条件数太大，方程（16）是
式 中， y ∈ R m×1 为 系 统 输 出 响 应 在 物 理 空 间 的 表 达 不适定的。工程上通常引入正则化策略解决不适定
式； Φ d 、Φ v 、Φ a ∈ R m×r 分别表示测量的位移、速度和 性，提高载荷识别精度。最小二乘 QR（LSQR）迭代
加 速 度 输 出 影 响 矩 阵， 其 中 m 为 测 量 响 应 点 的 数 方法是求解病态、稀疏系统的重要工具，适用于大
量。当获得的响应为加速度响应时，有： 规模不适定问题。