Page 143 - 《振动工程学报》2025年第11期

第 11 期 李鸿秋，等：融合显式 Newmark-β 法与迭代正则化的动载荷识别 2601

函数来表示随机动态载荷，将识别问题转化为 2 个 识别理论和修正迭代正则化算法应用于连续系统的
确定时间函数的问题。张景等 [9] 基于分离变量法提 动载荷识别。通过显式 Newmark-β 法获得系统在模
出了一种识别动载荷位置及时间历程的方法，以提 态空间响应关系式，确立载荷与响应之间的卷积关
高载荷定位的效率。 系，实现初步载荷识别。进而，推导结合传统 LSQR
动载荷识别作为典型的反问题，其不适定性主 算法和正则化策略的混合 LSQR 方法，并进一步利
要表现为解对输入误差的高度敏感性和解的非唯一 用混合 LSQR 算法计算得到某位置的响应和该处的
性。邱雨晴等 [10] 通过遗传算法优化半余弦基函数的 测量响应之间的偏差，动态控制正则化强度以提高
区间参数，建立基于半余弦函数拟合的冲击载荷识 解的稳定性和精度。最后，以简支梁为例，通过仿真
别正则化模型，解决基于函数拟合的冲击载荷识别 和试验验证基于混合 LSQR 的修正法的载荷识别算
方法的稳定性问题。最小二乘 QR 分解（LSQR）方法 法在不同噪声下对不同数量和不同类型载荷的可靠
因其在处理大型稀疏系统方面的优势，成为解决该 性和准确性。

问题的重要工具。SUN 等 [11] 提出了使用多窗口局
部最小二乘拟合模型（MWLSFM）构建拟合载荷函 1 基 于 显 式 Newmark-β 法 的 连 续 系 统
数，考虑了采样点的加权贡献，MWLSFM 可以提高
动 载 荷 识 别
[12]
识别出的动态载荷的连续性和平滑性。WANG 等
提出了快速收敛迭代正则化方法，利用矩阵摄动法
将不确定结构的动态载荷识别转化为一系列确定性 连续系统是无限自由度系统，模态阶数是无限

反问题，解决了结构随机动载荷识别问题。LIU 等 [13] 的。高阶模态对系统的振动响应贡献很小，因此对
提出了一种结合 Tikhonov 正则化和截断广义奇异值 连续系统进行载荷识别时，可以使用模态截断来降
分解的方法，在时域中识别安装在商用电动车辆上 低系统阶次。假设模态截断阶数为 r，则连续系统的

的动力电池组的动载荷。ZHOU 等 [14] 采用概率模型 动力学方程可以转化为模态空间下有限数量的独立
来 表 征 结 构 不 确 定 性， 采 用 矩 阵 平 衡 法 和 改 进 的 方程 [22] ：
T
Tikhonov 正则化方法解决结构固有频率附近识别误 M r ¨q(t)+C r ˙q(t)+ K r q(t) = Φ F(t) （1）
差较大的问题。井雯等 [15] 针对随机载荷识别中的病 式中， M r 、C r 和K r 分别为模态质量、模态阻尼和模
态逆问题，根据频响函数矩阵奇异值的大小对识别 态 刚 度； Φ = [φ 1 ,φ 2 ,···,φ N ]为 固 有 振 型 ； q(t) =
结果稳定性影响程度存在差异，在识别过程中采用 [q 1 (t),q 2 (t),···,q r (t)] 为模态坐标向量； f(t) = Φ F(t)为
T
T
变正则化参数方式，提高了识别精度。 模态力。
随着深度学习的发展，基于深度学习的动态载 将式 (1) 关于模态质量归一化，得到：
荷识别方法受到广泛关注。YANG 等 [16] 构建了振动
¨ q(t)+C ˙q(t)+ Kq(t) = f(t) （2）
响应和外部激励之间的直接映射关系，避免了对结
其中，
构模型参数的过度依赖。CUI 等 [17] 引入卷积神经网    2 
2ξ 1 ω 1 0 ··· 0  ω 1 0 ··· 0 
   
络（CNN）用于未知载荷区间的重构，采用数据驱动    0 2ξ 2 ω 2 ···       0 ω 2 ···   


 0    2 0  

      . 。

 .
的识别方法，解决传统物理模型中的病态矩阵、噪 C =    . . . . . . . , K =  . . . . . .  


. 

  . . . .    . . . .  
   
       
声干扰和参数不确定性问题。WANG 等 [18] 利用卷 0 0 ··· 2ξ r ω r 0 0 ··· ω 2 r
积神经网络（CNN）和长短期记忆网络（LSTM）结合 式 中， ω 1 、ω 2 、···、ω r 为 系 统 的 固 有 频 率 ； ξ 1 、
注意力机制（SA）识别了薄壁舱的动态载荷。 ξ 2 、···、ξ r 为 系 统 的 模 态 阻 尼 系 数 。 则 Newmark-β
Newmark-β 法直接在时域中推导，适合分析随时 法在模态空间下 t i+1 时刻的模态加速度和模态速度表
间 变 化 的 动 载 荷 。POURZEYNALI 等 [19] 采 用 显 式 达式为：
Newmark-β 法识别考虑路面不平度的移动荷载，李晓 1 [ ] 1 ( 1 )
¨ q(t i+1 ) = q(t i+1 )− q(t i ) − ˙ q(t i )− −1 ¨q(t i ),
旺等 [20] 为了反演作用在不确定性结构上的动态激励 β(∆t) 2 β∆t 2β
( ) ( )
上下界，在时域内建立了矩阵摄动和 Newmark-β 逐 γ [ ] γ γ
˙ q(t i+1 ) = q(t i+1 )− q(t i ) + 1− ˙ q(t i ) + 1− ¨ q(t i )
步积分相结合的载荷识别算法。CHENG 等 [21] 提出 β∆t β 2β
（3）
了基于状态空间法（SSM）和 Newmark-β 的连续系统
式 中， Δt 为 时 间 增 量 ； γ、 β 为 积 分 参 数 。 将 式 (3)
载荷识别算法，得到载荷识别模型，该方法减小了传
代入式 (2)，获得 t i+1 时刻的模态位移：
递矩阵的规模，缩短了求解时间。
∗ −1
q(t i+1 ) = (K ) f (t i+1 ) （4）
∗
与传统的 Tikhonov 正则化方法相比，LSQR 更适 1 γ
∗
合处理大规模问题，本文将显式 Newmark-β 法载荷 其中， K = β(∆t) 2 I + β∆t C+ K ，