Page 27 - 《振动工程学报》2025年第9期
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第 9 期 邹云峰,等:采用多级模态组响应重构的密集模态损伤识别方法 1957
原有限元模型划分为 N s 个子结构。根据 Craig-Bampton 伤因子的取值,其中, θ 表示第 k 次迭代的损伤因子
˜ (k)
固定界面模态综合法 [15-16] ,这些子结构通过模态坐标 向量; ˜ µ表示模态组响应应变能的精度参数; ˜ α s 表示
变换生成 N s 个自由度数量减少的超单元,这些超单 第 s 个超单元等效损伤因子的精度参数; 0 < t 1 ⩽ c t ,
∑
元保留了原子结构的界面模态,因而可以重新耦合 0 < t 2 ⩽ c t 表示矩阵 F 和 F 中的单值序号; [·] 2
˜ r,c
˜ c
sg
sg
成计算特性与原模型近似、自由度数量减少的超单 表示中括号内矩阵各单值的平方和。在该理论中,
元模型,从而实现模型缩聚。在后续的模型更新迭 精度参数 ˜ α s µ通过下式优化更新:
、
˜
代中,在超单元模型上求解模态振型矩阵,能有效提 1
˜ α s = (8)
高计算效率。 ( ˜ θ s ) + [A ] ss
(k) 2
˜ −1
为了缩减损伤搜索维度,首先将损伤定位至超
N c ∑
单元级。为了实现这一目的,首先预设“等效损伤因 N g · N s · t i
˜ µ = i=1 (9)
˜
子” θ,其等价于对应子结构所有单元的整体刚度折 ∑[ ] 2 N s ∑[ ]
˜ −1 ˜
c
r,c
˜ F (t 1 ,t 2 )− ˜ F (t 1 ,t 2 ) + A D
减。第 s 个子结构的等效损伤因子可表示为: sg sg ss
s=1
Ns
∑ ˜ ˜ ˜
˜
˜
˜
K(α) = K u + ˜ θ s K s , −1 ⩽ ˜ θ s ⩽ 0 (4) 在式(8)和式(9)中, A = W + ˜µD表示拉普拉斯近
˜
s=1 似的方差逆矩阵,其中, W是对角元素为 ˜ W ss = α s 的
˜
˜
˜
式中, K u 表示未损坏的整体超单元刚度矩阵; K s 表示 对角矩阵, D可由下式给出:
第 s 个超单元对整体刚度矩阵的贡献。
∑ r,c r,c
∂ ˜ F (t 1 ,t 2 )∂ ˜ F (t 1 ,t 2 )
sg
sg
假设有 N c 个模态采集组,首先将损伤定位至超 ˜ D zy = −
∂ ˜ θ z ∂ ˜ θ y
单元级,以缩减损伤搜索维度。在本节中,定义一种
r,c
[ ] ∂ ˜ F (t 1 ,t 2 )
sg
模态组响应应变能作为损伤指标: ˜ F (t 1 ,t 2 )− ˜ F (t 1 ,t 2 ) (10)
r,c
c
sg
sg
∂ ˜ θ z ∂ ˜ θ y
[ ] T [ ]
˜ r,c
˜
F = d r,c K s d r,c (5)
sg g g
式(10)中的损伤差异项 ˜ F (t 1 ,t 2 )与模态振型线
r,c
[ ] T [ ] sg
˜
˜ c
F = d c K s d c (6) 性相关,其关于等效损伤因子的偏导数可以使用参
sg g g
r,c
式中, d , d ∈ ℜ n×t c 分别为重构的和实际的第 c 个模 考文献 [18-19] 中的方法求解。
c
g
g
态采集组关于第 s 个超单元的第 g 个全自由度模态 模 型 更 新 前, 各 个 更 新 参 数 首 先 被 赋 予 初 始
组 响 应, n 和 t c 分 别 表 示 模 型 自 由 度 总 数 和 第 c 组 值。在每一步迭代中,参数 ˜ α s 和 ˜ µ首先通过上一步迭
代结束时(或初始值)的相关参数和等效损伤因子更
˜ r,c ˜ c
模 态 数 据 的 时 刻 点 数; F , F ∈ ℜ t c ×t c 分 别 对 应 于
sg
sg
新,然后加入到式(7)中更新 θ 。在满足收敛条件
˜ (k)
˜
d , d 的模态组响应应变能。在式(5)和(6)中, K s 为
r,c
c
g
g
˜ θ −θ ˜ k−1
k
/
˜
⩽ tol时,迭代结束。作为一种近似损
k
θ
已知的由初始有限元模型转化的超单元刚度矩阵,
˜
伤, θ中明显的负值被认定为对应的超单元区域存在
而全自由度的重构和实际模态组响应并不能直接获
损伤,基于此,第二级损伤识别将在这些可疑区域的
取,在这里分别考虑 d 和 d 中对应于自由度测量项
r,c
c
g
g
和非测量项的模态组响应进行说明:任意一个 d 的 内部单元中进行。
r,c
g
测量项均由其余测量自由度通过式(3)重构得到,非 1.3 单元级损伤识别
测量项则由所有测量自由度重构得到,这些重构过
考虑第 s 个子结构被识别为包含损伤的可疑区
程均考虑了尽可能多的测量信息以提高鲁棒性,但
域的情况。理论上,应对可疑损伤区域内的单元开
需要保证所有传感器都处于正常工作状态; d 的测量
c
g
项通过带间歇性准则的 EMD 方法从测量响应中提取 , 展损伤的精细化定位和量化,因此应在离散单元中
[9]
进行搜索。为了实现这一目的,将可疑超单元返回
非测量项则采用与 d 中对应非测量项相同的值,考
r,c
g
虑到非测量位置本身无法提供有效的模态信息,这 到其初始物理分布,即保留除第 s 个超单元外的其
余超单元,并将这些超单元与第 s 个未缩减的可疑
么做相当于扩充 d 的维度以使其能参与到优化过程
c
g
子结构重组为新的适应于第二阶段模型更新的超单
中,同时也不会在非测量自由度引入额外的误差。
元模型。假设第 s 个子结构的刚度矩阵由 Ne s 个单
在此基础上,引入一种稀疏贝叶斯学习框架 [17] ,
元和类似于式 (4) 的形式组成:
以最小化给定的模态信息作为如下优化目标:
Ne s
⌣ ⌣ ∑ ⌣
K(α) = K u + θ i K i , −1 ⩽ θ i ⩽ 0 (11)
∑[ ] 2 N s ∑( )
r,c
c
˜ (k)
θ = armmin ˜µ ˜ F (t 1 ,t 2 )− ˜ F (t 1 ,t 2 ) + ˜ α s θ ˜ 2
sg sg s i=1
⌣
s=1 式中, K u 表示第二阶段识别中未损坏的刚度矩阵;
(7)
⌣
式 (7) 通过拉普拉斯近似的迭代过程预测了损 K i 表示参与损伤识别的第 i 个单元的整体刚度贡献;