Page 27 - 《振动工程学报》2025年第9期
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第 9 期                  邹云峰,等:采用多级模态组响应重构的密集模态损伤识别方法                                        1957

              原有限元模型划分为         N s 个子结构。根据     Craig-Bampton   伤因子的取值,其中,         θ 表示第    k 次迭代的损伤因子
                                                                                   ˜ (k)
              固定界面模态综合法          [15-16] ,这些子结构通过模态坐标           向量;   ˜ µ表示模态组响应应变能的精度参数;                ˜ α s 表示
              变换生成     N s 个自由度数量减少的超单元,这些超单                    第  s 个超单元等效损伤因子的精度参数;                 0 < t 1 ⩽ c t ,
                                                                                                        ∑
              元保留了原子结构的界面模态,因而可以重新耦合                            0 < t 2 ⩽ c t 表示矩阵  F 和  F 中的单值序号;        [·] 2
                                                                                       ˜ r,c
                                                                                  ˜ c
                                                                                   sg
                                                                                        sg
              成计算特性与原模型近似、自由度数量减少的超单                            表示中括号内矩阵各单值的平方和。在该理论中,
              元模型,从而实现模型缩聚。在后续的模型更新迭                            精度参数     ˜ α s µ通过下式优化更新:
                                                                          、
                                                                            ˜
              代中,在超单元模型上求解模态振型矩阵,能有效提                                                    1
                                                                                ˜ α s =                   (8)
              高计算效率。                                                               ( ˜ θ s ) + [A ] ss
                                                                                     (k) 2
                                                                                           ˜ −1
                  为了缩减损伤搜索维度,首先将损伤定位至超
                                                                                        N c ∑
              单元级。为了实现这一目的,首先预设“等效损伤因                                             N g · N s ·  t i
                                                                   ˜ µ =                i=1               (9)
                  ˜
              子”  θ,其等价于对应子结构所有单元的整体刚度折                               ∑[                  ] 2  N s ∑[  ]
                                                                                                 ˜ −1 ˜
                                                                           c
                                                                                    r,c
                                                                          ˜ F (t 1 ,t 2 )− ˜ F (t 1 ,t 2 ) +  A D
              减。第    s 个子结构的等效损伤因子可表示为:                                    sg       sg                ss
                                                                                             s=1
                                Ns
                                ∑                                                      ˜  ˜    ˜
                      ˜
                            ˜
                                     ˜
                     K(α) = K u +  ˜ θ s K s , −1 ⩽ ˜ θ s ⩽ 0  (4)  在式(8)和式(9)中,      A = W + ˜µD表示拉普拉斯近
                                                                                       ˜
                                s=1                             似的方差逆矩阵,其中,           W是对角元素为         ˜ W ss = α s 的
                    ˜
                                                      ˜
                                                                          ˜
              式中,  K u 表示未损坏的整体超单元刚度矩阵;               K s 表示    对角矩阵,     D可由下式给出:
              第  s 个超单元对整体刚度矩阵的贡献。                                                          
                                                                        ∑     r,c        r,c
                                                                           ∂ ˜ F (t 1 ,t 2 )∂ ˜ F (t 1 ,t 2 )
                                                                               sg
                                                                                          sg
                  假设有    N c 个模态采集组,首先将损伤定位至超                       ˜ D zy =                 −
                                                                                     
                                                                            
                                                                                     
                                                                                            
                                                                           
                                                                                ∂ ˜ θ z   ∂ ˜ θ y
              单元级,以缩减损伤搜索维度。在本节中,定义一种
                                                                                                   
                                                                                             r,c
                                                                                                    
                                                                        [                ] ∂ ˜ F (t 1 ,t 2 )
                                                                                             sg
              模态组响应应变能作为损伤指标:                                             ˜ F (t 1 ,t 2 )− ˜ F (t 1 ,t 2 )        (10)
                                                                                   r,c
                                                                           c
                                                                                                   
                                                                                                   
                                                                                   sg
                                                                           sg
                                                                                                   
                                                                                                    
                                                                                             ∂ ˜ θ z ∂ ˜ θ y  
                                  [  ] T  [  ]
                              ˜ r,c
                                       ˜
                              F = d  r,c  K s d r,c    (5)
                               sg   g      g
                                                                    式(10)中的损伤差异项          ˜ F (t 1 ,t 2 )与模态振型线
                                                                                           r,c
                                   [ ] T  [ ]                                              sg
                                       ˜
                               ˜ c
                              F = d  c  K s d  c       (6)      性相关,其关于等效损伤因子的偏导数可以使用参
                                sg   g     g
                     r,c
              式中,   d , d ∈ ℜ n×t c 分别为重构的和实际的第        c 个模     考文献    [18-19] 中的方法求解。
                        c
                     g
                        g
              态采集组关于第        s 个超单元的第       g  个全自由度模态              模 型 更 新 前, 各 个 更 新 参 数 首 先 被 赋 予 初 始
              组 响 应, n  和  t c 分 别 表 示 模 型 自 由 度 总 数 和 第  c 组   值。在每一步迭代中,参数             ˜ α s 和  ˜ µ首先通过上一步迭
                                                                代结束时(或初始值)的相关参数和等效损伤因子更
                                     ˜ r,c ˜ c
              模 态 数 据 的 时 刻 点 数;    F , F ∈ ℜ t c ×t c 分 别 对 应 于
                                         sg
                                      sg
                                                                新,然后加入到式(7)中更新            θ 。在满足收敛条件
                                                                                           ˜ (k)
                                                         ˜
              d , d 的模态组响应应变能。在式(5)和(6)中,               K s 为
               r,c
                  c
               g
                  g
                                                                
 ˜ θ −θ ˜ k−1
 
 k
                                                                       
/
 ˜ 
 ⩽ tol时,迭代结束。作为一种近似损
                                                                
 k
                                                                          θ
              已知的由初始有限元模型转化的超单元刚度矩阵,
                                                                    ˜
                                                                伤, θ中明显的负值被认定为对应的超单元区域存在
              而全自由度的重构和实际模态组响应并不能直接获
                                                                损伤,基于此,第二级损伤识别将在这些可疑区域的
              取,在这里分别考虑         d 和  d 中对应于自由度测量项
                                 r,c
                                      c
                                      g
                                 g
              和非测量项的模态组响应进行说明:任意一个                      d 的     内部单元中进行。
                                                         r,c

                                                         g
              测量项均由其余测量自由度通过式(3)重构得到,非                          1.3    单元级损伤识别
              测量项则由所有测量自由度重构得到,这些重构过
                                                                    考虑第    s 个子结构被识别为包含损伤的可疑区
              程均考虑了尽可能多的测量信息以提高鲁棒性,但
                                                                域的情况。理论上,应对可疑损伤区域内的单元开
              需要保证所有传感器都处于正常工作状态;                   d 的测量
                                                     c
                                                     g
              项通过带间歇性准则的          EMD  方法从测量响应中提取 ,             展损伤的精细化定位和量化,因此应在离散单元中
                                                           [9]
                                                                进行搜索。为了实现这一目的,将可疑超单元返回
              非测量项则采用与         d 中对应非测量项相同的值,考
                                r,c
                                g
              虑到非测量位置本身无法提供有效的模态信息,这                            到其初始物理分布,即保留除第                s 个超单元外的其
                                                                余超单元,并将这些超单元与第                s 个未缩减的可疑
              么做相当于扩充        d 的维度以使其能参与到优化过程
                              c
                              g
                                                                子结构重组为新的适应于第二阶段模型更新的超单
              中,同时也不会在非测量自由度引入额外的误差。
                                                                元模型。假设第         s 个子结构的刚度矩阵由           Ne s 个单
                  在此基础上,引入一种稀疏贝叶斯学习框架                     [17] ,
                                                                元和类似于式       (4) 的形式组成:
              以最小化给定的模态信息作为如下优化目标:
                                                                                  Ne s
                                                                        ⌣     ⌣   ∑   ⌣
                                                                       K(α) = K u +  θ i K i , −1 ⩽ θ i ⩽ 0  (11)
                            ∑[                  ] 2  N s ∑(  )
                                          r,c
                                 c
                ˜ (k)
                θ = armmin ˜µ   ˜ F (t 1 ,t 2 )− ˜ F (t 1 ,t 2 )  +  ˜ α s θ ˜ 2
                                 sg       sg             s                        i=1
                                                                      ⌣
                                                    s=1         式中,   K u 表示第二阶段识别中未损坏的刚度矩阵;
                                                       (7)
                                                                 ⌣
                  式  (7) 通过拉普拉斯近似的迭代过程预测了损                      K i 表示参与损伤识别的第          i 个单元的整体刚度贡献;
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